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三角関数の集合が直交性を持つことの証明 📂フーリエ解析

三角関数の集合が直交性を持つことの証明

定理

2L2Lが周期関数である関数集合{1, cos⁡πxL, cos⁡2πxL,⋯ , sin⁡πxL, sin⁡2πxL, ⋯ }\left\{ 1,\ \cos \dfrac{\pi x}{L},\ \cos \dfrac{2\pi x}{L}, \cdots ,\ \sin\dfrac{\pi x}{L},\ \sin\dfrac{2\pi x}{L},\ \cdots \right\}は、区間[−L, L)[-L,\ L)で直交集合である。言い換えると、m,n=1,2,3,…m,n = 1, 2, 3, \dotsに対して、以下が成り立つ。

1L∫−LLcos⁡mπxLcos⁡nπxLdx=δmn1L∫−LLsin⁡mπxLsin⁡nπxLdx=δmn∫−LLcos⁡mπxLsin⁡nπxLdx=01L∫−LLcos⁡nπxLdx=01L∫−LLsin⁡nπxLdx=0 \begin{align} \dfrac{1}{L} \int _{-L}^{L} \cos\dfrac{m\pi x}{L} \cos\dfrac{n\pi x}{L} dx &= \delta_{mn} \label{eq1} \\ \dfrac{1}{L} \int _{-L}^{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L}\sin \dfrac{n\pi x}{L} dx &= \delta_{mn} \label{eq2} \\ \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \quad &= 0 \label{eq3} \\ \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \cos \dfrac{n\pi x}{L} dx &= 0 \label{eq4} \\ \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx &= 0 \label{eq5} \end{align}

ここで、δ\deltaはクロネッカーのデルタである。

系

(4),(5)(4), (5)によれば、コサインとサインの1周期の平均は00である。

説明

オイラーの公式により、指数関数の集合も直交性を持つことがわかる。この事実は周期関数を周期関数の級数として表現するフーリエ級数を可能にし、そのためフーリエ解析で重要な意味を持つ。

証明

(1)(1)

∫−LLcos⁡mπxLcos⁡ nπxLdx(1) \int_{-L}^{L} \cos \frac{m\pi x}{L} \cos \ \frac{n\pi x}{L} dx \tag{1}

  • case 1.1 m≠nm \ne n

∫−LLcos⁡mπxLcos⁡nπxLdx(m,n=1,2,…m≠n)=12∫−LL[cos⁡(m+n)πxL+cos⁡(m−n)πxL]dx=12[L(m+n)πsin⁡(m+n)πxL]−LL+12[L(m−n)πsin⁡(m−n)πxL]−LL=12[L(m+n)πsin⁡((m+n)π)+L(m+n)πsin⁡((m+n)π)]+12[L(m−n)πsin⁡((m−n)π)+L(m−n)πsin⁡((m−n)π)]=0 \begin{align*} & \int_{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \cos \dfrac{n\pi x}{L} dx \quad (m,n=1, 2,\dots\quad m\ne n) \\ &= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos \frac{(m+n)\pi x}{L}+\cos \frac{(m-n)\pi x}{L} \right] dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \dfrac{(m+n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} + \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi }\sin \dfrac{(m-n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &\quad+ \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \big( (m-n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin\big( (m-n)\pi \big) \right] \\ &= 0 \end{align*}

最初の等式は三角関数の積から和への公式により成立する。最後の等式はm+n, m−nm+n,\ m-nが00でない整数であるため、全ての項が00であるから成立する。

  • case 1.2 m=nm = n

    ∫−LL(cos⁡mπxL)2dx=12∫−LL(1+cos⁡2mπxL)dx=12[x+L2mπsin⁡2mπxL]−LL=12(2L)=L  ⟹  1L∫−LL(cos⁡mπxL)2dx=1 \begin{align*} \int _{-L}^{L} \left( \cos \dfrac{m\pi x}{L} \right)^2 dx &=\dfrac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left( 1+ \cos \dfrac{2m\pi x}{L} \right) dx \\ &= \frac{1}{2}\left[ x+\frac{L}{2m\pi}\sin \frac{2m\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &= \frac{1}{2}(2L) \\ &= L \end{align*} \\ \implies \dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} \left( \cos \dfrac{m\pi x}{L} \right)^2dx = 1

    最初の等式は三角関数の半角公式により成立する。

■

(2)(2)

∫−LLsin⁡mπxLsin⁡nπxLdx(2) \int_{-L}^{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L } dx \tag{2}

  • case 2.1 m≠nm \ne n

    ∫−LLsin⁡mπxLsin⁡nπxLdx (m,n=1,2,⋯ ,m≠n)=12∫−LL[cos⁡(m−n)πxL−cos⁡(m+n)πxL]dx=12[L(m−n)πsin⁡(m−n)πxL]−LL−12[L(m+n)πsin⁡(m+n)πxL]−LL=12[L(m−n)πsin⁡((m−n)π)+L(m−n)πsin⁡((m+n)π)]−12[L(m+n)πsin⁡((m+n)π)+L(m+n)πsin⁡((m+n)π)]=0 \begin{align*} &\int_{-L}^{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \ \quad (m,n= 1,2,\cdots,\quad m\ne n) \\ &= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos \frac{(m-n)\pi x}{L} -\cos \frac{(m+n)\pi x}{L} \right] dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \dfrac{(m-n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} - \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \dfrac{(m+n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \big( (m-n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &\quad- \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) +\dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &= 0 \end{align*}

    最初の等式は三角関数の積から和への公式により成立する。最後の等式はcase 1.1と同じ理由で全ての項が00であるから成立する。

  • case 2.2 m=nm = n

    ∫−LL(sin⁡mπxL)2dx=12∫−LL(1−cos⁡2mπxL)dx=12[x−L2mπsin⁡2mπxL]−LL=12(2L)=L  ⟹  1L∫−LL(sin⁡mπxL)2dx=1 \begin{align*} && \int _{-L}^{L} \left( \sin \dfrac{m\pi x}{L} \right)^2 dx &= \dfrac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left( 1- \cos \dfrac{2m\pi x}{L} \right)dx \\ && &=\frac{1}{2}\left[ x-\frac{L}{2m\pi}\sin \frac{2m\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ && &= \dfrac{1}{2}(2L) \\ && &= L \end{align*} \\ \implies \dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} \left( \sin \dfrac{m\pi x}{L} \right) ^2 dx=1

    最初の等式は三角関数の半角公式により成立する。

■

(3)(3)

∫−LLcos⁡mπxLsin⁡nπxLdx(3) \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \tag{3}

  • case 3.1 m≠nm \ne n

    ∫−LLcos⁡mπxLsin⁡nπxLdx=12∫−LL[sin⁡(m+n)πxL−sin⁡(m−n)πxL]dx=12[−L(m+n)πcos⁡(m+n)πxL]−LL−12[−L(m−n)πcos⁡(m−n)πxL]−LL=12[−L(m+n)πcos⁡((m+n)π)+L(m+n)πcos⁡((m+n)π)]−12[−L(m−n)πcos⁡((m−n)π)+L(m−n)πcos⁡((m−n)π)]=0 \begin{align*} & \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \sin \dfrac{ (m+n) \pi x}{L} - \sin \dfrac{ (m-n) \pi x}{L} \right] dx \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ - \dfrac{L}{(m+n)\pi} \cos \dfrac{ (m+n)\pi x}{L} \right] _{-L}^{L} -\dfrac{1}{2}\left[ - \dfrac{L}{(m-n)\pi} \cos \dfrac{ (m-n)\pi x}{L} \right] _{-L}^{L} \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ - \dfrac{L}{(m+n)\pi} \cos \big( (m+n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m+n)\pi} \cos \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &\quad- \dfrac{1}{2}\left[ - \dfrac{L}{(m-n)\pi} \cos \big( (m-n)\pi\big) + \dfrac{L}{(m-n)\pi} \cos \big((m-n)\pi\big)\right] \\ &= 0 \end{align*}

    最初の等式は三角関数の積から和への公式により成立する。

  • case 3.2 m=nm = n

    ∫−LLcos⁡mπxLsin⁡nπxLdx=∫−LLcos⁡mπxLsin⁡mπxLdx=12∫−LL2cos⁡mπxLsin⁡mπxLdx=12∫−LLsin⁡2mπxLdx=12(−L2mπcos⁡2mπ+L2mπcos⁡2mπ)=0 \begin{align*} \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx &= \int_{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int _{-L}^{L} 2\cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int _{-L}^{L} \sin \dfrac{2m\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{L}{2m\pi}\cos 2m\pi + \dfrac{L}{2m\pi} \cos 2m\pi\right) \\ &= 0 \end{align*}

■

(4),(5)(4), (5)

∫−LLcos⁡nπxLdx=[Lnπsin⁡nπxL]−LL=Lnπsin⁡nπ+Lnπsin⁡nπ=0 \begin{align*} \int_{-L}^{L} \cos\dfrac{n \pi x}{L} dx &=\left[ \dfrac{L}{n\pi}\sin \dfrac{n \pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &=\dfrac{L}{n\pi}\sin n\pi + \dfrac{L}{n\pi}\sin n\pi \\ &=0 \end{align*}

最後の等式はnnが整数であるため成立する。サイン関数も同じ理由で

∫−LLsin⁡nπxLdx=[−Lnπcos⁡nπxL]−LL=−Lnπcos⁡nπ+Lnπcos⁡nπ=0 \begin{align*} \int_{-L}^{L} \sin\dfrac{n \pi x}{L} dx &=\left[ -\dfrac{L}{n\pi}\cos \dfrac{n \pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &=-\dfrac{L}{n\pi}\cos n\pi + \dfrac{L}{n\pi}\cos n\pi \\ &=0 \end{align*}

■