三角関数の集合が直交性を持つことの証明
定理
$2L$が周期関数である関数集合$\left\{ 1,\ \cos \dfrac{\pi x}{L},\ \cos \dfrac{2\pi x}{L}, \cdots ,\ \sin\dfrac{\pi x}{L},\ \sin\dfrac{2\pi x}{L},\ \cdots \right\}$は、区間$[-L,\ L)$で直交集合である。言い換えると、$m,n = 1, 2, 3, \dots$に対して、以下が成り立つ。
$$ \begin{align} \dfrac{1}{L} \int _{-L}^{L} \cos\dfrac{m\pi x}{L} \cos\dfrac{n\pi x}{L} dx &= \delta_{mn} \label{eq1} \\ \dfrac{1}{L} \int _{-L}^{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L}\sin \dfrac{n\pi x}{L} dx &= \delta_{mn} \label{eq2} \\ \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \quad &= 0 \label{eq3} \\ \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \cos \dfrac{n\pi x}{L} dx &= 0 \label{eq4} \\ \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx &= 0 \label{eq5} \end{align} $$
ここで、$\delta$はクロネッカーのデルタである。
系
$(4), (5)$によれば、コサインとサインの1周期の平均は$0$である。
説明
オイラーの公式により、指数関数の集合も直交性を持つことがわかる。この事実は周期関数を周期関数の級数として表現するフーリエ級数を可能にし、そのためフーリエ解析で重要な意味を持つ。
証明
$(1)$
$$ \int_{-L}^{L} \cos \frac{m\pi x}{L} \cos \ \frac{n\pi x}{L} dx \tag{1} $$
- case 1.1 $m \ne n$
$$ \begin{align*} & \int_{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \cos \dfrac{n\pi x}{L} dx \quad (m,n=1, 2,\dots\quad m\ne n) \\ &= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos \frac{(m+n)\pi x}{L}+\cos \frac{(m-n)\pi x}{L} \right] dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \dfrac{(m+n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} + \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi }\sin \dfrac{(m-n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &\quad+ \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \big( (m-n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin\big( (m-n)\pi \big) \right] \\ &= 0 \end{align*} $$
最初の等式は三角関数の積から和への公式により成立する。最後の等式は$m+n,\ m-n$が$0$でない整数であるため、全ての項が$0$であるから成立する。
case 1.2 $m = n$
$$ \begin{align*} \int _{-L}^{L} \left( \cos \dfrac{m\pi x}{L} \right)^2 dx &=\dfrac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left( 1+ \cos \dfrac{2m\pi x}{L} \right) dx \\ &= \frac{1}{2}\left[ x+\frac{L}{2m\pi}\sin \frac{2m\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &= \frac{1}{2}(2L) \\ &= L \end{align*} \\ \implies \dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} \left( \cos \dfrac{m\pi x}{L} \right)^2dx = 1 $$
最初の等式は三角関数の半角公式により成立する。
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$(2)$
$$ \int_{-L}^{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L } dx \tag{2} $$
case 2.1 $m \ne n$
$$ \begin{align*} &\int_{-L}^{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \ \quad (m,n= 1,2,\cdots,\quad m\ne n) \\ &= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos \frac{(m-n)\pi x}{L} -\cos \frac{(m+n)\pi x}{L} \right] dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \dfrac{(m-n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} - \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \dfrac{(m+n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \big( (m-n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &\quad- \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) +\dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &= 0 \end{align*} $$
最初の等式は三角関数の積から和への公式により成立する。最後の等式はcase 1.1と同じ理由で全ての項が$0$であるから成立する。
case 2.2 $m = n$
$$ \begin{align*} && \int _{-L}^{L} \left( \sin \dfrac{m\pi x}{L} \right)^2 dx &= \dfrac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left( 1- \cos \dfrac{2m\pi x}{L} \right)dx \\ && &=\frac{1}{2}\left[ x-\frac{L}{2m\pi}\sin \frac{2m\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ && &= \dfrac{1}{2}(2L) \\ && &= L \end{align*} \\ \implies \dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} \left( \sin \dfrac{m\pi x}{L} \right) ^2 dx=1 $$
最初の等式は三角関数の半角公式により成立する。
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$(3)$
$$ \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \tag{3} $$
case 3.1 $m \ne n$
$$ \begin{align*} & \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \sin \dfrac{ (m+n) \pi x}{L} - \sin \dfrac{ (m-n) \pi x}{L} \right] dx \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ - \dfrac{L}{(m+n)\pi} \cos \dfrac{ (m+n)\pi x}{L} \right] _{-L}^{L} -\dfrac{1}{2}\left[ - \dfrac{L}{(m-n)\pi} \cos \dfrac{ (m-n)\pi x}{L} \right] _{-L}^{L} \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ - \dfrac{L}{(m+n)\pi} \cos \big( (m+n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m+n)\pi} \cos \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &\quad- \dfrac{1}{2}\left[ - \dfrac{L}{(m-n)\pi} \cos \big( (m-n)\pi\big) + \dfrac{L}{(m-n)\pi} \cos \big((m-n)\pi\big)\right] \\ &= 0 \end{align*} $$
最初の等式は三角関数の積から和への公式により成立する。
case 3.2 $m = n$
$$ \begin{align*} \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx &= \int_{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int _{-L}^{L} 2\cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int _{-L}^{L} \sin \dfrac{2m\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{L}{2m\pi}\cos 2m\pi + \dfrac{L}{2m\pi} \cos 2m\pi\right) \\ &= 0 \end{align*} $$
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$(4), (5)$
$$ \begin{align*} \int_{-L}^{L} \cos\dfrac{n \pi x}{L} dx &=\left[ \dfrac{L}{n\pi}\sin \dfrac{n \pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &=\dfrac{L}{n\pi}\sin n\pi + \dfrac{L}{n\pi}\sin n\pi \\ &=0 \end{align*} $$
最後の等式は$n$が整数であるため成立する。サイン関数も同じ理由で
$$ \begin{align*} \int_{-L}^{L} \sin\dfrac{n \pi x}{L} dx &=\left[ -\dfrac{L}{n\pi}\cos \dfrac{n \pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &=-\dfrac{L}{n\pi}\cos n\pi + \dfrac{L}{n\pi}\cos n\pi \\ &=0 \end{align*} $$
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