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磁場のベクトルポテンシャル 📂電磁気学

磁場のベクトルポテンシャル

説明1

静電学では、∇×E=0\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}という性質を使って、スカラーポテンシャル VVを定義する。同様に、磁気静学では、∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0という性質を利用してベクトルポテンシャル AAを定義して使う。磁場 B\mathbf{B}をあるベクトル A\mathbf{A}の回転としよう。

B=∇×A \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}

すると、回転の発散は0だから、自然に次の式が成り立つ。

∇⋅B=∇⋅(∇×A)=0 \nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

したがって、カールを取ったときに磁場になるベクトル A\mathbf{A}を磁場のベクトルポテンシャルと定義する。電場のスカラーポテンシャルを扱う時の要点は、ポテンシャル自体の値ではなく、ポテンシャルの差が重要だった。そこで、定数 KKの差は、電場を扱う上で影響を与えなかった。同様に、ベクトルポテンシャル A\mathbf{A}を発散が00になるようなベクトルとして定めることができる。発散が00でないベクトルでも構わないが∇⋅A=0\nabla \cdot \mathbf{A}=0を満たす時、式が最も綺麗になる。アンペールの法則の微分形にベクトルポテンシャル A\mathbf{A}を代入してみると、次の式を得る。

∇×B=∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A=μ0J \nabla \times \mathbf{B}=\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A} ) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla ^2 \mathbf{A} = \mu_{0} \mathbf{J}

を参照)∇⋅A=0\nabla \cdot \mathbf{A}=0であれば、アンペールの法則は綺麗に以下のようになる。

∇2A=−μ0J \begin{equation} \nabla ^2 \mathbf{A}=-\mu_{0} \mathbf{J} \label{1} \end{equation}

なぜ、自由にA\mathbf{A}を発散が00になる関数として設定してもいいのか確認しよう。発散が00でないポテンシャルをA0\mathbf{A}_{0}としよう。ここに任意のスカラーλ\lambdaの勾配を加えたものをA\mathbf{A}としよう。

A=A0+∇λ \mathbf{A}=\mathbf{A}_{0} + \nabla \lambda

両辺にカールを取ると、勾配のカールは0\mathbf{0}だから、

∇×A=∇×A0+∇×(∇λ)=∇×A0 \nabla \times \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A}_{0} + \nabla \times (\nabla\lambda)=\nabla \times \mathbf{A}_{0}

したがって、二つのベクトルA,A0\mathbf{A}, \mathbf{A}_{0}のカールは同じで、次が成り立つ。

B=∇×A=∇×A0 \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A}_{0}

それゆえ、ベクトルポテンシャルに任意のスカラーの勾配を足すことは、磁場を表現する上で何の影響も与えない。二つのベクトルポテンシャルに発散を取ると、

∇⋅A=∇⋅A0+∇2λ \nabla \cdot \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A}_{0} + \nabla^2 \lambda

そこで、∇2λ=−∇⋅A0\nabla ^2 \lambda=-\nabla \cdot \mathbf{A}_{0}を満たすλ\lambdaを選べば、ベクトルポテンシャルA\mathbf{A}の発散を00にすることができる。もし、遠くの地点で∇⋅A0=0\nabla \cdot \mathbf{A}_{0}=0が成立すれば、次の式を得る。

λ=14π∫∇⋅A0dτ′ \lambda=\dfrac{1}{4 \pi}\int \dfrac{\nabla \cdot \mathbf{A}_{0} } {\cR} d\tau^{\prime}

(1)(1)を解いてA\mathbf{A}を直接求めると（遠くの地点でJ=0\mathbf{J}=0の時）

A(r)=μ04π∫J(r′)dτ′ \mathbf{A}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J} (\mathbf{r}^{\prime}) }{\cR} d\tau^{\prime}

式を見るとわかるが、電流の方向が一定であれば、ベクトルポテンシャルと電流の方向が同じになる。線電流と面電流に対するベクトルポテンシャルは、

A=μ04π∫Idl′=μ0I4π∫1dl′ \mathbf{A}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{I} } {\cR} dl^{\prime}=\dfrac{\mu_{0} I}{4\pi} \int \dfrac{1}{\cR} d\mathbf{l}^{\prime}

A=μ04π∫Kda′ \mathbf{A}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\int \dfrac{K}{\cR} da^{\prime}

  1. David J. Griffiths, 基礎電磁気学(Introduction to Electrodynamics, 金甚生 訳) (4th Edition, 2014), p262-263 ↩︎