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移動平均過程 📂統計的分析

移動平均過程

モデル 1

白色雑音 {et}t∈N\left\{ e_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}} についてYt:=et−θ1et−1−θ2et−2−⋯−θqet−qY_{t} := e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2} - \cdots - \theta_{q} e_{t-q}と同様に定義された{Yt}t∈N\left\{ Y_{t} \right\}_{ t \in \mathbb{N} }を**qq次移動平均過程 MA(q)MA(q)**と呼ぶ。

  • (1): MA(1):Yt=et−θet−1MA(1) : Y_{t} = e_{t} - \theta e_{t-1}
  • (2): MA(2):Yt=et−θ1et−1−θ2et−2MA(2) : Y_{t} = e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2}
  • (q): MA(q):Yt=et−θ1et−1−θ2et−2−⋯−θqet−qMA(q) : Y_{t} = e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2} - \cdots - \theta_{q} e_{t-q}
  • (∞): MA(∞):Yt=et−θ1et−1−θ2et−2−⋯MA( \infty ) : Y_{t} = e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2} - \cdots
  • N\mathbb{N} は自然数の集合 {1,2,3,⋯ }\left\{ 1, 2, 3 , \cdots \right\} を意味する。

説明

次の図の緑、赤、オレンジ、紫の線を移動平均線と呼ぶ。

20190219\_175236.png

移動平均線は、特に株式市場等で広く利用されるグラフで、日々の極端な変動ではなく平均を見ることで全体的なトレンドを見るのに役立つ。しかし、式だけを見てMA(q)MA(q)を「移動平均過程」と呼ぶ理由は理解しにくいが、例えばMA(2):Yt=et−θ1et−1−θ2et−2MA(2) : Y_{t} = e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2}とした場合、θ1=θ2=−12\displaystyle \theta_{1} = \theta_{2} = - {{1} \over {2}}の時にYt=et−1+et−22+et\displaystyle Y_{t} = {{ e_{t-1} + e_{t-2} } \over {2}} + e_{t}になることを考えれば良い。

ある変数が順調に成長したり、減退している場合、つまり局所的な変動が少ない場合は、移動平均線を見る意味がない。同様に、移動平均は変化を滑らかにするだけで、スケール自体を変えるわけではない。同様に、MA(q)MA(q)はqqより短い区間でのパターンを把握することに関心を持ち、具体的な値や大きなトレンドについては知ったことではない。言い換えれば、定常性を持ったデータにのみ使用できる。

  1. Cryer. (2008). Time Series Analysis: With Applications in R(2nd Edition): p57. ↩︎