📂解析学

級数、無限級数

定義¹

数列 $\left\{ a_{n} \right\}$が与えられたとしよう。そして、以下の記法を定義しよう。

$$\sum \limits_{n=p}^{q} a_{n} = a_{p} + a_{p+1} + \cdots + a_{q}\quad (p \le q)$$

$\left\{ a_{n} \right\}$の部分和^{partial sum} $s_{n}$を次のように定義する。

$$s_{n} = \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}$$

そうすると、$s_{n}$の数列 $\left\{ s_{n} \right\}$を考えることができる。数列 $\left\{ s_{n} \right\}$の極限を$\left\{ a_{n} \right\}$の無限級数^{infinite series}、または単に級数と呼び、次のように記される。

$$\sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim \limits_{n \to \infty} s_{n} = \lim\limits_{n \to \infty}\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}$$

$\left\{ s_{n} \right\}$が$s$に収束する場合、次のように示し、級数が収束するという。

$$\sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = s$$

$\left\{ s_{n} \right\}$が収束しない場合、級数が発散するという。級数が発散する場合に、

• すべての$M \in \mathbb{R}$に対し、$n \ge N \implies s_{n} > M$を満たす$N \in \mathbb{N}$が存在する場合 $$\sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \infty$$ と記される。

• すべての$M \in \mathbb{R}$に対し、$n \ge N \implies s_{n} < M$を満たす$N \in \mathbb{N}$が存在する場合 $$\sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = -\infty$$ と記される。

説明

級数は、無限に多くの項を加えるという曖昧な概念を数学的に厳密に定義したものである。$\sum a_{n}$のように単純に記されることもある。