📂微分方程式

ピカールの方法

定理¹

$E$が$\mathbb{R}^{n}$でオープンであり、$f \in C^{1} (E)$に関して以下のような初期値問題が与えられているとしよう。

$$\begin{cases} \dot{ \phi } = f ( \phi ) \\ \phi (0) = \phi_{0} \end{cases}$$

関数列 $\left\{ u_{k} (t) \right\} _{ k =0}^{ \infty }$を以下のように定義しよう。

$$\begin{cases} u_{0} (t) = \phi_{0} \\ u_{k+1} (t) = \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u_{k} (s) \right) ds \end{cases}$$

すると、連続関数$u (t) := \lim_{k \to \infty} u_{k} (t)$は与えられた初期値問題の解である。

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• $C^{1}$は微分可能な関数の集合だ。

説明

当然$u$は存在するものと仮定し、存在しなければ意味のない定理だ。さらに$u$は連続でなければならないが、$u_{k}$が連続である必要はない。このように厳密な数学であると言いながら、ぎこちない部分は通常、この方法が使われる定理で補足される。

証明

$$\begin{align*} & u (t) \\ =& \lim_{k \to \infty} u_{k+1} (t) \\ =& \lim_{k \to \infty} \left( \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u_{k} (s) \right) ds \right) \\ =& \phi_{0} + \int_{0}^{t} \lim_{k \to \infty} f \left( u_{k} (s) \right) ds \\ =& \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( \lim_{k \to \infty} u_{k} (s) \right) ds & \because \text{continuity of } f \\ =& \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u(s) \right) ds \end{align*}$$

$t = 0$ならば、

$$u (0) = \phi_{0} + \int_{0}^{0} f \left( u(s) \right) ds = \phi_{0} + 0 = \phi_{0}$$

微積分学の基本定理によると、関数$f$が閉区間$[a,b]$で連続であれば、関数$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$は$[a,b]$で連続であり、$(a,b)$で微分可能で、 $${{dF(x)} \over {dx}} = f(x)$$

$u$が連続であるため、$( f \circ u )$も連続であり、微積分学の基本定理により、

$$\dot{u } (t) = \left( \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u(s) \right) ds \right)' = f \left( u (t) \right)$$

したがって、$u$は与えられた初期値問題の解であることがわかる。

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