二つのレビ-チビタ記号の積
定理
次のように定義される $\epsilon_{ijk}$ を レビ-チビタ記号 と呼ぶ。
$$ \epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{if} \ \epsilon_{123}, \epsilon_{231}, \epsilon_{312} \\ -1 & \text{if} \ \epsilon_{132}, \epsilon_{213}, \epsilon_{321} \\ 0 & \text{if} \ i=j \ \text{or} \ j=k \ \text{or} \ k=i \end{cases} $$
次のように定義される $\delta_{ij}$ を クロネッカーのデルタ と呼ぶ。
$$ \delta_{ij} := \begin{cases} 1,&i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases} $$
二つのレビ-チビタ記号の積とクロネッカーのデルタとの間には、次の関係が成り立つ。
(a) 一つのインデックスが同じ場合: $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}$
(b) 二つのインデックスが同じ場合: $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm}=2\delta_{km}$
(c) 三つのインデックスが同じ場合: $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6$
説明
文章全体で $\sum$ を省略する アインシュタインの記法 を使用していることに注意してください。これは上記の式においても同じです。 (a)は使用頻度が高いため、覚えておくと便利です。簡単に覚える方法は次のとおりです。
証明
(a)
$\mathbf{e}_{i}$ $(i=1,2,3)$ を3次元における 標準単位ベクトル としよう。
$$ \mathbf{e}_{1} = (1, 0, 0),\quad \mathbf{e}_{2} = (0, 1, 0),\quad \mathbf{e}_{3} = (0, 0, 1) $$
$P_{ijk}$ を1行目が $\mathbf{e}_{i}$、2行目が $\mathbf{e}_{j}$、3行目が $\mathbf{e}_{k}$ の $3 \times 3$ 行列 とする。
$$ P_{ijk} = \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} $$
すると、行列式の性質により $\det P_{ijk} = \epsilon_{ijk}$ と簡単にわかる。まず $P_{123}$ は 単位行列 であるため、行列式は $1$ である。また、異なる行の順序を偶数回変えると行列式の値は変わらないため、
$$ \det P_{123} = \det P_{231} = \det P_{312} = 1 $$
異なる行の順序を奇数回変えると行列式の符号が逆になるため、
$$ \det P_{132} = \det P_{213} = \det P_{321} = -1 $$
同じ行を二つ以上含む行列の行列式は $0$ であるため、残りの場合は全て $0$ となる。したがって $\det P_{ijk} = \epsilon_{ijk}$ が成立する。一つのインデックスが同じ二つのレビ-チビタ記号の積は、 行列式の性質 をうまく使うと、次のようになる。
$$ \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} &= \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{l} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{m} \text{ —} \end{bmatrix} \\ &= \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{m} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} & (\because \det A = \det A^{T}) \\ &= \det \left( \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{m} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} \right) & \Big(\because (\det A) (\det B) = \det (AB) \Big) \\ &= \det \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{m} \\ \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{m} \\ \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{m} \end{bmatrix} \end{align*} $$
$\mathbf{e}_{i}$ は標準単位ベクトルであるため、$\mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{j} = \delta_{ij}$ が成立する。
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \det \begin{bmatrix} \delta_{ii} & \delta_{il} & \delta_{im} \\ \delta_{ji} & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ \delta_{ki} & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{bmatrix} $$
このとき、$i$ が $j, k, l, m$ と全て異なる場合のみを考えていることに注意しよう。なぜなら $j, k, l, m$ のいずれかが $i$ と同じであれば、$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = 0$ となり、意味のない結果だからである。したがって結果
は次のようになる。
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ `` 0 & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{bmatrix} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} $$
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(b)
(a) で $l=j$ の場合である。したがって、次のようになる。
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm} = \delta_{jj}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kj} $$
このとき $\delta_{jj}=3$ が成立し、また $\delta_{jm}\delta_{kj}=\delta_{mk}$ も成立するため、結果は次のようになる。
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm} = \delta_{jj}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kj} = 3\delta_{km} - \delta_{mk} = 2\delta_{km} $$
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(c)
(b) で $m=k$ の場合であるため、
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} = \sum_{k=1}^{3}2\delta_{kk} = 2\delta_{11} + 2\delta_{22} + 2\delta_{33} = 2 + 2 + 2 = 6 $$
または、0でない全ての項を展開すると、次を得る。
$$ \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} &=\sum \limits _{i=1} ^{3}\sum \limits _{j=1} ^{3}\sum \limits _{k=1} ^{1} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \\ &=\epsilon_{123}\epsilon_{123}+\epsilon_{231}\epsilon_{231}+\epsilon_{312}\epsilon_{312}+\epsilon_{132}\epsilon_{132}+\epsilon_{213}\epsilon_{213}+\epsilon_{321}\epsilon_{321} \\ &=6 \end{align*} $$
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