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二つのレビ-チビタ記号の積 📂数理物理学

二つのレビ-チビタ記号の積

定理

次のように定義される ϵijk\epsilon_{ijk} を レビ-チビタ記号 と呼ぶ。

ϵijk={+1if ϵ123,ϵ231,ϵ312−1if ϵ132,ϵ213,ϵ3210if i=j or j=k or k=i \epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{if} \ \epsilon_{123}, \epsilon_{231}, \epsilon_{312} \\ -1 & \text{if} \ \epsilon_{132}, \epsilon_{213}, \epsilon_{321} \\ 0 & \text{if} \ i=j \ \text{or} \ j=k \ \text{or} \ k=i \end{cases}

次のように定義される δij\delta_{ij} を クロネッカーのデルタ と呼ぶ。

δij:={1,i=j0,i≠j \delta_{ij} := \begin{cases} 1,&i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases}

二つのレビ-チビタ記号の積とクロネッカーのデルタとの間には、次の関係が成り立つ。

(a) 一つのインデックスが同じ場合: ϵijkϵilm=δjlδkm−δjmδkl\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}

(b) 二つのインデックスが同じ場合: ϵijkϵijm=2δkm\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm}=2\delta_{km}

(c) 三つのインデックスが同じ場合: ϵijkϵijk=6\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6

説明

文章全体で ∑\sum を省略する アインシュタインの記法 を使用していることに注意してください。これは上記の式においても同じです。 (a)は使用頻度が高いため、覚えておくと便利です。簡単に覚える方法は次のとおりです。

1.PNG

証明

(a)

ei\mathbf{e}_{i} (i=1,2,3)(i=1,2,3) を3次元における 標準単位ベクトル としよう。

e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1) \mathbf{e}_{1} = (1, 0, 0),\quad \mathbf{e}_{2} = (0, 1, 0),\quad \mathbf{e}_{3} = (0, 0, 1)

PijkP_{ijk} を1行目が ei\mathbf{e}_{i}、2行目が ej\mathbf{e}_{j}、3行目が ek\mathbf{e}_{k} の 3×33 \times 3 行列 とする。

Pijk=[— ei —— ej —— ek —] P_{ijk} = \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix}

すると、行列式の性質により det⁡Pijk=ϵijk\det P_{ijk} = \epsilon_{ijk} と簡単にわかる。まず P123P_{123} は 単位行列 であるため、行列式は 11 である。また、異なる行の順序を偶数回変えると行列式の値は変わらないため、

det⁡P123=det⁡P231=det⁡P312=1 \det P_{123} = \det P_{231} = \det P_{312} = 1

異なる行の順序を奇数回変えると行列式の符号が逆になるため、

det⁡P132=det⁡P213=det⁡P321=−1 \det P_{132} = \det P_{213} = \det P_{321} = -1

同じ行を二つ以上含む行列の行列式は 00 であるため、残りの場合は全て 00 となる。したがって det⁡Pijk=ϵijk\det P_{ijk} = \epsilon_{ijk} が成立する。一つのインデックスが同じ二つのレビ-チビタ記号の積は、 行列式の性質 をうまく使うと、次のようになる。

ϵijkϵilm=det⁡[— ei —— ej —— ek —]det⁡[— ei —— el —— em —]=det⁡[— ei —— ej —— ek —]det⁡[∣∣∣eielem∣∣∣](∵det⁡A=det⁡AT)=det⁡([— ei —— ej —— ek —][∣∣∣eielem∣∣∣])(∵(det⁡A)(det⁡B)=det⁡(AB))=det⁡[ei⋅eiei⋅elei⋅emej⋅eiej⋅elej⋅emek⋅eiek⋅elek⋅em] \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} &= \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{l} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{m} \text{ —} \end{bmatrix} \\ &= \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{m} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} & (\because \det A = \det A^{T}) \\ &= \det \left( \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{m} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} \right) & \Big(\because (\det A) (\det B) = \det (AB) \Big) \\ &= \det \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{m} \\ \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{m} \\ \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{m} \end{bmatrix} \end{align*}

ei\mathbf{e}_{i} は標準単位ベクトルであるため、ei⋅ej=δij\mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{j} = \delta_{ij} が成立する。

ϵijkϵilm=det⁡[δiiδilδimδjiδjlδjmδkiδklδkm] \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \det \begin{bmatrix} \delta_{ii} & \delta_{il} & \delta_{im} \\ \delta_{ji} & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ \delta_{ki} & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{bmatrix}

このとき、ii が j,k,l,mj, k, l, m と全て異なる場合のみを考えていることに注意しよう。なぜなら j,k,l,mj, k, l, m のいずれかが ii と同じであれば、ϵijkϵilm=0\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = 0 となり、意味のない結果だからである。したがって結果

は次のようになる。

ϵijkϵilm=det⁡[1000δjlδjm‘‘0δklδkm]=δjlδkm−δjmδkl \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ `` 0 & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{bmatrix} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}

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(b)

(a) で l=jl=j の場合である。したがって、次のようになる。

ϵijkϵijm=δjjδkm−δjmδkj \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm} = \delta_{jj}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kj}

このとき δjj=3\delta_{jj}=3 が成立し、また δjmδkj=δmk\delta_{jm}\delta_{kj}=\delta_{mk} も成立するため、結果は次のようになる。

ϵijkϵijm=δjjδkm−δjmδkj=3δkm−δmk=2δkm \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm} = \delta_{jj}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kj} = 3\delta_{km} - \delta_{mk} = 2\delta_{km}

■

(c)

(b) で m=km=k の場合であるため、

ϵijkϵijk=∑k=132δkk=2δ11+2δ22+2δ33=2+2+2=6 \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} = \sum_{k=1}^{3}2\delta_{kk} = 2\delta_{11} + 2\delta_{22} + 2\delta_{33} = 2 + 2 + 2 = 6

または、0でない全ての項を展開すると、次を得る。

ϵijkϵijk=∑i=13∑j=13∑k=11ϵijkϵijk=ϵ123ϵ123+ϵ231ϵ231+ϵ312ϵ312+ϵ132ϵ132+ϵ213ϵ213+ϵ321ϵ321=6 \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} &=\sum \limits _{i=1} ^{3}\sum \limits _{j=1} ^{3}\sum \limits _{k=1} ^{1} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \\ &=\epsilon_{123}\epsilon_{123}+\epsilon_{231}\epsilon_{231}+\epsilon_{312}\epsilon_{312}+\epsilon_{132}\epsilon_{132}+\epsilon_{213}\epsilon_{213}+\epsilon_{321}\epsilon_{321} \\ &=6 \end{align*}

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