局所リプシッツ条件
定義
$E$が$\mathbb{R}^{n}$でオープンであり、$\mathbf{f} : E \to \mathbb{R}^{n}$としよう。全ての$\mathbf{x} _{0} \in E$に対して$B \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right) \subset E$を満たす$\varepsilon > 0$と全ての$\mathbf{x} , \mathbf{y} \in B \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right)$に対して$| \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) | \le K | \mathbf{x} - \mathbf{y} |$を満たす$K >0$が存在するなら、$\mathbf{f}$は$E$でローカリー・リプシッツlocally Lipshitzと言う。
この場合、以下の関係が成り立つ。
強いリプシッツ条件 $\implies$ リプシッツ条件 $\implies$ ローカルリプシッツ条件
定理
$\mathbf{f} \in C^{1} (E)$ならば、$\mathbf{f}$は$E$でローカリー・リプシッツである。
- ユークリッド空間$\mathbb{R}^{n}$の球は $$ B \left( \mathbf{x}_{0} ; d \right) := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | < d \right\} \\ B \left[ \mathbf{x}_{0} ; d \right] := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | \le d \right\}$$ のように表され、$D$は微分作用素である。
証明
$E$がオープンなので、与えられた$\mathbf{x}_{0} \in E$に対してオープンな球$B \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right) \subset E$が存在する。$\mathbf{f} \in C^{1} (E)$と言うのは$D \mathbf{f}$が存在するという意味であり、$\displaystyle K : = \max_{ \mathbf{x} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right] } \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right\|$と置くことができる。
$\mathbf{x} , \mathbf{y} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right]$に対して$\mathbf{u} := \mathbf{y} - \mathbf{x}$とするなら、$B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right]$が凸関数なので全ての$s \in [0,1]$に対して
$$ \mathbf{x} + s \mathbf{u} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right] $$
関数$F : [0,1] \to \mathbb{R}^{n}$を$F (s) := \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} )$のように定義すると
$$ F ' (s) = D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} $$
したがって
$$ \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) = F (1) - F(0) = \int_{0}^{1} F ' (s) ds = \int_{0}^{1} D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} ds $$
得られた方程式の両辺に絶対値を取ると
$$ \begin{align*} &\left| \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right| \\ \le & \int_{0}^{1} \left| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} \right| ds \\ \le & \int_{0}^{1} \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \right\| \left| \mathbf{u} \right| ds \end{align*} $$
すると作用素の性質により
$$ \begin{align*} & \int_{0}^{1} \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \right\| \left| \mathbf{u} \right| ds \\ \le & K | \mathbf{u} | \\ \le & K | \mathbf{y} - \mathbf{x} | \end{align*} $$
まとめると
$$ \left| \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right| \le K | \mathbf{y} - \mathbf{x} | $$
従って、$\mathbf{f}$は$E$でローカリー・リプシッツである。
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