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局所リプシッツ条件 📂解析学

局所リプシッツ条件

定義

EEがRn\mathbb{R}^{n}でオープンであり、f:E→Rn\mathbf{f} : E \to \mathbb{R}^{n}としよう。全てのx0∈E\mathbf{x} _{0} \in Eに対してB(x0;ε)⊂EB \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right) \subset Eを満たすε>0\varepsilon > 0と全てのx,y∈B(x0;ε)\mathbf{x} , \mathbf{y} \in B \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right)に対して∣f(x)−f(y)∣≤K∣x−y∣| \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) | \le K | \mathbf{x} - \mathbf{y} |を満たすK>0K >0が存在するなら、f\mathbf{f}はEEでローカリー・リプシッツlocally Lipshitzと言う。

この場合、以下の関係が成り立つ。

強いリプシッツ条件   ⟹  \implies リプシッツ条件   ⟹  \implies ローカルリプシッツ条件

定理

f∈C1(E)\mathbf{f} \in C^{1} (E)ならば、f\mathbf{f}はEEでローカリー・リプシッツである。

  • ユークリッド空間Rn\mathbb{R}^{n}の球は B(x0;d):={x∈Rn∣∣x0−x∣<d}B[x0;d]:={x∈Rn∣∣x0−x∣≤d} B \left( \mathbf{x}_{0} ; d \right) := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | < d \right\} \\ B \left[ \mathbf{x}_{0} ; d \right] := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | \le d \right\} のように表され、DDは微分作用素である。

証明

EEがオープンなので、与えられたx0∈E\mathbf{x}_{0} \in Eに対してオープンな球B(x0;ε)⊂EB \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right) \subset Eが存在する。f∈C1(E)\mathbf{f} \in C^{1} (E)と言うのはDfD \mathbf{f}が存在するという意味であり、K:=max⁡x∈B[x0;ε2]∥Df(x)∥\displaystyle K : = \max_{ \mathbf{x} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right] } \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right\|と置くことができる。

x,y∈B[x0;ε2]\mathbf{x} , \mathbf{y} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right]に対してu:=y−x\mathbf{u} := \mathbf{y} - \mathbf{x}とするなら、B[x0;ε2]B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right]が凸関数なので全てのs∈[0,1]s \in [0,1]に対して

x+su∈B[x0;ε2] \mathbf{x} + s \mathbf{u} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right]

関数F:[0,1]→RnF : [0,1] \to \mathbb{R}^{n}をF(s):=f(x+su)F (s) := \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} )のように定義すると

F′(s)=Df(x+su)u F ' (s) = D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u}

したがって

f(y)−f(x)=F(1)−F(0)=∫01F′(s)ds=∫01Df(x+su)uds \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) = F (1) - F(0) = \int_{0}^{1} F ' (s) ds = \int_{0}^{1} D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} ds

得られた方程式の両辺に絶対値を取ると

∣f(y)−f(x)∣≤∫01∣Df(x+su)u∣ds≤∫01∥Df(x+su)∥∣u∣ds \begin{align*} &\left| \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right| \\ \le & \int_{0}^{1} \left| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} \right| ds \\ \le & \int_{0}^{1} \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \right\| \left| \mathbf{u} \right| ds \end{align*}

すると作用素の性質により

∫01∥Df(x+su)∥∣u∣ds≤K∣u∣≤K∣y−x∣ \begin{align*} & \int_{0}^{1} \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \right\| \left| \mathbf{u} \right| ds \\ \le & K | \mathbf{u} | \\ \le & K | \mathbf{y} - \mathbf{x} | \end{align*}

まとめると

∣f(y)−f(x)∣≤K∣y−x∣ \left| \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right| \le K | \mathbf{y} - \mathbf{x} |

従って、f\mathbf{f}はEEでローカリー・リプシッツである。

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