変数分離法を用いた円筒座標系におけるジェット軸に無関係なラプラス方程式の解法
定理
円柱座標系で円筒対称性cylindrical symmetryがある時のラプラス方程式の一般解は次の通りである。
$$ V(s,\phi) = A_{0} \ln s +B_{0} +\sum \limits _{k=1} ^\infty ( A_{k} s^k ++ B_{k} s^{-k} )( C_{k}\cos k\phi + D_{k}\sin k\phi) $$
証明
ステップ 0
境界条件が円柱座標系で表現しやすい場合は、円柱座標系におけるラプラス方程式を解かなければならない。円柱座標系でのラプラス方程式は以下のようになる。（参考1, 参考2）
$$ \nabla ^2 V = \dfrac{1}{s} \dfrac{\partial }{ \partial s} \left( s\dfrac{\partial V}{\partial s} \right) + \dfrac{1}{s^2} \dfrac{\partial ^2 V}{\partial \phi^2 } +\dfrac{\partial ^2 V }{\partial z^2 }=0 $$
このとき、ポテンシャル$V$が$z$と無関係な関数だとしよう。つまり、他の値は同じで$z$だけが変わるときに、$V$の値は変わらないという仮定である。すると、$z$による$V$の変化量が$0$であり、これは$\dfrac{\partial V}{\partial z}=0$を意味するため、三番目の項が消える。
$$ \dfrac{1}{s} \dfrac{\partial }{ \partial s} \left( s\dfrac{\partial V}{\partial s} \right) + \dfrac{1}{s^2} \dfrac{\partial ^2 V}{\partial \phi^2 } =0 \tag{1} $$
ポテンシャル$V(s,\phi)$が変数分離可能な関数だとしよう。$V$が$s$だけの関数$S(s)$と$\phi$だけの関数$\Phi (\phi)$の積でできているという仮定である。$V(s,\phi)=S(s) \Phi (\phi)$を$(1)$に代入すると以下のようになる。
$$ \dfrac{1}{s} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{d S}{d s} \right) \Phi + \dfrac{1}{s^2} \dfrac{d ^2 \Phi }{d \phi ^2 } S=0 $$
両辺に$\dfrac{s^2}{S \Phi}$を掛けると
$$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{d S}{d s} \right) + \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{d ^2 \Phi }{d \phi ^2 } =0 $$
この方程式が成り立つためには、第一項、第二項が両方とも一定である必要がある。なぜなら、$s$の値が変われば第一項だけが影響を受け、第二項は$s$と無関係なため影響を受けないからである。それにもかかわらず、二項を足したときに$0$にならなければならないため、第一項全体が定数であるという結果を得る。同様に、第二項も定数である。
$$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) = C_{1} $$
$$ \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi ^2} =C_2 $$
$(1)$の複雑な偏微分方程式が、2つの簡単な常微分方程式に変換された。今度は、各微分方程式を解いて$S(s)$と$\Phi (\phi)$を求め、掛け合わせると、求めていた$V(s,\phi)$が得られる。$C_{1}+C_2=0$であるため、二つの定数は大きさが同じで符号が反対である。この時、$C_2$は必ず負の定数である。その理由は、$C_2$が正のときに、微分方程式の解が$\Phi (\phi)=Ae^{k\phi}+Be^{-k\phi}$の形で出るためである（解法参考）。円柱座標系なので、$\Phi (\phi) = \Phi (\phi+2\pi)$を満たさなければならないが、上の式は満たされない。よって、$C_{1}$は正の定数であり、$C_2$は負の定数である。
$$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) =k^2 $$
$$ \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi ^2} =-k^2 $$
ステップ 1
$$ \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi ^2} =-k^2 $$
上の微分方程式の解は$\Phi (\phi)=e^{\pm ik \phi}$としてよく知られている。（参考）したがって、一般解は
$$ \Phi (\phi) = A e^{ik\phi} + Be^{-ik\phi} $$
オイラーの公式$e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta$を用いると、以下のように表現できる。
$$ \Phi ( \phi) = A\cos k\phi + B \sin k\phi $$
この時、$A$と$B$は複素数の定数であり、直前の式の$A$と$B$とは別の定数であることに注意しよう。さて、$\Phi (\phi)=\Phi (\phi+2\pi)$を満たすか確認しよう。
$$ \begin{align*} \Phi (\phi+2\pi) &= A\cos k(\phi +2\pi) + B \sin k(\phi+2\pi) \\ &= A\cos (k\phi +2k\pi) + B \sin (k\phi+2k\pi) \end{align*} $$
この時$k= 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ならば
$$ \begin{align*} \Phi (\phi) &= A\cos (k\phi) + B \sin (k\phi) \\ &= \Phi ( \phi) \end{align*} $$
したがって、解は
$$ \Phi ( \phi) = A\cos k\phi + B \sin k\phi\quad (k=0,1,2\cdots) $$
負の場合は、正の場合と値が重複するため、正の場合だけを記述すればよい。しかしながら、実はこの時$k=0$の場合は解に含まれない。なぜなら、$k=0$の場合に微分方程式を解くと
$$ \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi^2 } =0 $$
$$ \implies \dfrac{ d \Phi}{d \phi}=C $$
$$ \implies \Phi=C\phi +D $$
この時の$\Phi$は、先に述べた周期性がないためだ。したがって、最終的に得られる解は
$$ \Phi ( \phi) = A\cos k\phi + B \sin k\phi,\ \ (k=1,2\cdots) $$
ステップ 2
$$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) =k^2 $$
上の微分方程式を整理すると
$$ s\left( \dfrac{d S}{ds} + s \dfrac{d^2 S}{d s^2} \right) =k^2 S $$
$$ \implies s^2 \dfrac{d^2 S}{d s^2 } + s\dfrac{d S}{ds} -k^2 S=0 $$
これはオイラーの方程式であり、ここに述べられている方法で解くことができるが、本稿ではもっと簡単に解く。微分方程式の解が$s^n$の形で現れることを利用して$S=s^n$を代入すると、
$$ s^2(n)(n-1)s^{n-2} +sns^{n-1}-k^2s^n=0 $$
$$ \implies n(n-1)+n-k^2=0 $$
$$ \implies n^2-k^2=0 $$
$$ \therefore n=\pm k $$ 微分方程式の二つの解は$s^k$と$s^{-k}$である。一般解は二つの解の線形結合であり、ステップ 1の$k$の条件を加えると、
$$ S(s) = Cs^k+Ds^{-k},\quad k=1,2,\cdots $$ しかし、重要な点は$S(s)$は$k=0$の時の解が存在するということである。$k=0$の時の微分方程式を解くと、
$$ \dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) =0 $$
$$ \implies \dfrac{ d}{ds} \left( s \dfrac{ dS }{ds} \right) =0 $$
$$ \implies s\dfrac{dS}{ds}=C $$
$$ \implies dS=\dfrac{C}{s} ds $$
$$ \implies S(s)=C\ln s +D $$
したがって、最終的に一般解を示すと、
$$ S(s)=A_{0} \ln s +B_{0} +\sum \limits _{k=1} ^\infty ( A_{k} s^k + B_{k} s^{-k}) $$
ステップ 3
ステップ 1 と ステップ 2 の結果を合わせると、ポテンシャルは以下のようになる。
$$ V(s,\phi) = A_{0} \ln s +B_{0} +\sum \limits _{k=1} ^\infty ( A_{k} s^k ++ B_{k} s^{-k} )( C_{k}\cos k\phi + D_{k}\sin k\phi) $$