球座標系における方位角に依存しないラプラス方程式の解法：変数分離法を使用
定理
球座標系での方位角対称性がある場合のラプラス方程式の一般解は以下のとおりである。
$$ V(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_{l} r^l + \dfrac{B_{l}}{r^{l+1} } \right) P_{l}(\cos \theta) $$
証明
ステップ 0
境界条件が球座標系で表現しやすい場合、球座標系におけるラプラス方程式を解かなければならない。球座標系でのラプラス方程式は以下のとおり。(参照1, 参照2)
$$ \nabla ^2 V = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right) + \dfrac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \dfrac{ \partial ^2 V}{\partial \phi^2 }=0 $$
ここで、電位 $V$が$\phi$と無関係な関数だと仮定しよう。つまり、他の値は同じで$\phi$だけが変わるとき、$V$の値は変わらないという仮定である。すると、$\phi$に対する$V$の変化量が$0$であり、これは$\dfrac{\partial V}{\partial \phi}=0$となり、三番目の項が消える。
$$ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{ \partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right)=0 \tag{1} $$
電位$V(r, \theta)$が変数分離可能な関数だと仮定しよう。つまり、$V$が$r$だけの関数$R(r)$と$\theta$だけの関数$\Theta (\theta) $の積で構成されているという意味である。$V(r,\theta)=R(r) \Theta (\theta)$を$(1)$に代入し、両辺を$V$で割って整理すると、以下のような形になる。
$$ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) +\dfrac{ 1}{ \Theta \sin \theta } \dfrac{ d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ d \Theta}{d \theta }\right) = 0 $$
各項が$r$と$\theta$にのみ依存するため、両項ともに定数である。$r$の値が変わっても第二項と右辺の値は変わらない。したがって、第一項の値も常に同じでなければならず、これは定数項であるということである。第二項も同じ理由で定数項である。
$$ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) =l(l+1) $$
$$ \dfrac{ 1}{\Theta \sin \theta } \dfrac{d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta }\right) = -l(l+1) $$
$(1)$の複雑な偏微分方程式が2つの単純な常微分方程式に変わった。各常微分方程式を解いて$R(r)$と$\Theta (\theta)$を見つけ、それらを掛け合わせると、求めている$V(r,\theta)$が得られる。
ステップ 1
$$ \dfrac{d}{dr} \left( r^2 \dfrac{dR}{dr} \right) = l(l+1) R $$ $$ \implies 2r \dfrac{dR}{dr} +r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} =l(l+1)R $$
$$\implies r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} + 2r\dfrac{dR}{dr} - l(l+1)R=0$$
これはオイラー方程式の形であり、解法はここで確認できるが、この文書ではもっと簡単に解く。上記の微分方程式の解が$r^k$の形で出るという事実を利用して、最初の行に$R=r^k$を代入する。すると、
$$ \dfrac{ d}{dr} \left( r^2 \dfrac{ d r^k}{dr} \right) = l(l+1)r^k$$ $$ \implies \dfrac{d}{dr} (k r^{k+1} ) = l(l+1) r^k$$ $$ \implies k(k+1)r^k=l(l+1)r^k $$ $$ \therefore k(k+1)=l(l+1) $$ $$ \implies k^2+ k -l(l+1)=0$$
二次方程式の解の公式を使うと、解は$k=l$または$k=-(l+1)$である。したがって、$r^l$と$\dfrac{1}{r^{l+1} }$が微分方程式の解である。一般解は二つの解の線形結合であるから、$R(r)=Ar^l + \dfrac{B}{r^{l+1} }$、$A,B$は定数である
ステップ 2
$$ \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta} \right) =-l(l+1)\sin \theta \Theta $$
$\theta$に対する微分方程式の解は複雑なため、結果だけを紹介する。詳細な解法を知りたい場合は、ここを参照。この微分方程式の解は$\cos \theta $に対するルジャンドル多項式である。
$$ \Theta (\theta) = P_{l}( \cos \theta) $$
このとき、$P_{l}(x)$は以下の通りである。
ロドリゲスの公式 $$ P_{l}(x) := \dfrac{1}{2^l l!} \left( \dfrac{d}{dx} \right) ^l (x^2-1)^l $$
l$은 양의 정수, $P_{0}(x)=1$
위 공식에 따라 계산한 르장드르 다항식은 아래와 같다.
$$P_{0}(x) =1$$ $$P_{1}(x)=x$$ $$P_2(x) = \dfrac{3x^2-1}{2}$$ $$P_{3}(x) = \dfrac{5x^3 -3x}{2}$$ $$\vdots$$
2계 미분방정식이므로 2개의 해를 구해야하는데 각 $l$ 값에 대해 하나의 해만 있다. 나머지 두번째 해는 $\theta=0$과 $\theta=\pi$에서 발산하기 때문에 물리적인 의미가 있는 해가 아니다. 따라서 드장드르 다항식에 의한 첫번째 해만 고려해주면 된다.
단계 3.
단계 1 과 단계 2 의 결과를 종합하면 전위는
$$ V(r,\theta) =\left( Ar^l ++ \dfrac{B}{r^{l+1}} \right) P_{l}( \cos \theta) $$
이 때 각 $l$各値につき一つの解があるので、一般解はこれらを全て合わせたものである。
$$ V(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_{l} r^l + \dfrac{B_{l}}{r^{l+1} } \right) P_{l}(\cos \theta) $$
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