📂解析学

解析における不連続の同値条件

定理 ¹

関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が $x_{0}$ で連続でないことは次のことと同値だ: $$ \exists \epsilon > 0 , \forall \delta > 0 : \exists x ( \delta ) \in \mathbb{R} \left( \left| x ( \delta ) - x_{0} \right| < \delta \land \left| f \left( x ( \delta ) - f \left( x_{0} \right) \right) \right| \ge \varepsilon \right) $$

説明

よく考えてみればそれほど難しい内容ではないが、いざ思い出そうとすると結構混乱する。

不連続というのは連続の否定だ。命題をそのまま解釈すると、$x_{0}$ にどれだけ近い $x ( \delta )$ が存在しても、$f$ での関数値は少なくとも $\varepsilon > 0$ だけの差があるということだ。