一次元マップのリアプノフ指数
定義1
スムースな$1$次元マップ$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$の一つのオービット$\left\{ x_{1} , x_{2} , x_{3} , \cdots \right\}$が与えられたとしよう。
リアプノフ数
次をリアプノフ数lyapunov numberと呼ぶ。 $$L ( x_{1} ) : = \lim_{ n \to \infty } \left( \prod_{i = 1}^{n} | f ' (x_{i} ) | \right)^{1/n}$$
リアプノフ指数
次をリアプノフ指数lyapunov Exponentと呼ぶ。 $$h ( x_{1} ) := \lim_{n \to \infty } {{1} \over {n}} \sum_{i=1}^{n} \ln | f ' (x_{i} ) |$$ リアプノフ指数はよく$\lambda$でも表される。
説明
直感的定義 2
リアプノフ数の直感的な概念は、「初期条件のわずかな差が遠い未来にどれだけ大きな影響を与えるか」と見ることができる。初期条件$x_{1}$とごくわずかな距離$\delta_{1} \approx 0$だけ離れた$x_{1} + \delta_{1}$でそれぞれ$n$の時間が経過した後の距離を $$ \delta_{n} := f^{n} \left( x_{1} + \delta_{1} \right) - f^{n} \left( x_{1} \right) $$ と表すことにしよう。ここで$\left| \delta_{n} \right| \approx \left| \delta_{1} \right| e^{n \lambda}$のとき、$\lambda$をリアプノフ指数と定義することもできる。リアプノフ指数が$0$以上であればその値が大きいほど$\left| \delta_{1} \right|$と$\left| \delta_{n} \right|$の差が大きくなり、初期条件の差が遠い未来に大きな影響を与えることになり、$0$より小さければその値が小さいほど二つの値が類似しており、初期条件の差が遠い未来に少ない影響を与えることになる。$\lambda$についてさらに式を展開すると、両辺にログを取って $$ \left| \delta_{n} \right| \approx \left| \delta_{1} \right| e^{n \lambda} \implies \ln \left| \delta_{n} \right| \approx \ln \left| \delta_{1} \right| n \lambda $$ であり、 $$ \begin{align*} \lambda \approx& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| {\frac{ \delta_{n} }{ \delta_{1} }} \right| \\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| {\frac{ f^{n} \left( x_{1} + \delta_{1} \right) - f^{n} \left( x_{1} \right) }{ \delta_{1} }} \right| \\ \approx& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| \left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) \right| \end{align*} $$ である。一方で$\left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right)$はチェーンルールによって $$ \begin{align*} \left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) =& \left[ f \left( f^{n-1} \right) \left( x_{1} \right) \right] ' \\ =& \left( f^{n-1} \right) ' \left( x_{1} \right) \cdot f ' \left( f^{n-1} \left( x_{1} \right) \right) \\ =& \left( f^{n-1} \right) ' \left( x_{1} \right) f ' \left( x_{n} \right) \\ =& \left( f^{n-2} \right) ' \left( x_{1} \right) \cdot f ' \left( f^{n-2} \left( x_{1} \right) \right) f ' \left( x_{n} \right) \\ =& \left( f^{n-2} \right) ' \left( x_{1} \right) \cdot f ' \left( x_{n-1} \right) f ' \left( x_{n} \right) \\ & \vdots \\ =& \prod_{k=1}^{n} f ' \left( x_{k} \right) \end{align*} $$ なので $$ \begin{align*} \lambda \approx& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| \left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) \right| \\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| \prod_{k=1}^{n} f ' \left( x_{k} \right) \right| \\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{k=1}^{n} \ln \left| f ' \left( x_{k} \right) \right| \end{align*} $$ となるため、十分に大きな$n \in \mathbb{N}$に対して次のような近似を導出することができる。 $$ \lambda \approx {{1} \over {n}} \sum_{k=1}^{n} \ln | f ' (x_{k} ) | \approx \lim_{N \to \infty} {{1} \over {N}} \sum_{k=1}^{N} \ln | f ' (x_{k} ) | = h \left( x_{1} \right) $$
カオス理論
シンクとソースの概念を再考すると、シンクは近くの点が集まる一種の「収束点」、ソースは近かった点がだんだんと離れていく一種の「発散点」と見ることができる。これは、ピリオディックオービットに対しても同様に拡張することができた。
オービットのシンクとソースの判別法: > $f$のピリオディック-$k$オービットを$\left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\}$としよう。$\left| f '(p_{1}) \cdots f '(p_{k}) \right| < 1$ならば$\left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\}$はシンクで、$\left| f '(p_{1}) \cdots f '(p_{k}) \right| > 1$ならば$\left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\}$はソースである。
リアプノフ数は、このような概念をピリオディックなオービット以上に拡張するために導入されたと言える。シンクが安定傾向を示し、ソースが揺らぎを示す拡散を示すと見たとき、微分係数の無限積で表される$L ( x_{1} )$が$1$よりも大きければ、実際に$x_{1}$のオービットがソースであることを暗示している。その点から、リアプノフ指数はカオスという概念を定義するか、以下の定理を提供する。
定理3
スムースなマップ$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$のオービットのうち、$f ' (x_{i} ) \ne 0$を満たす$\left\{ x_{1} , x_{2} , \cdots \right\}$がピリオディック-$k$オービット$\left\{ y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{k} , \cdots \right\}$にアシンプトティックにピリオディックであるとしよう。すると、両方のオービットは同じリアプノフ指数を持つ。
証明
パート1. 数列の平均は元の数列の極限に収束する。
簡単な事実として、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} s_{n} = s$ならば$m \in \mathbb{Z}$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty} s_{n+m} = s$が成り立つ。
すると、その平均も$s$に収束し、数式で表すと$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {{1} \over {n}} \sum_{i=1}^{n} s_{i} = s$
パート2.
$k=1$とすると、$y_{1}$は$f$の不動点になる。$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x_{n} = y_{1}$であり$f$がスムースなので
$$ \lim_{n \to \infty } f ' (x_{n}) = f ' \left( \lim_{n \to \infty} x_{n} \right) = f ' ( y_{1} ) $$
一方で$\ln | \cdot | $も連続関数なので
$$ \lim_{n \to \infty } \ln | f ' (x_{n}) | = \ln \left| \lim_{n \to \infty} f ' ( x_{n} ) \right| = \ln | f ' ( y_{1} ) | $$
したがって、パート1.により
$$ \begin{align*} h ( x_{1} ) =& \lim_{n \to \infty } {{1} \over {n} } \sum_{i=1}^{n} \ln | f ' (x_{n}) | \\ =& \lim_{n \to \infty } \ln | f ' (x_{n}) | \\ =& {{1} \over {1}} \ln | f ' (y_{1} ) | \\ =& h (y_{1} ) \end{align*} $$
パート3.
$f$の下で$x_{1}$のリアプノフ数が$\displaystyle L := \lim_{ n \to \infty } \left( | f ' ( x_{1} ) | \cdots | f ' ( x_{n} ) | \right)^{1/n}$であるとする。チェーンルールにより$i = 1, \cdots , k$に対しては$( f^{k} )' ( x_{i} ) = f ' ( x_{1} ) \cdots f ' ( x_{k} )$なので、$f^{k}$の下で$x_{1}$のリアプノフ数は
$$ \begin{align*} & \lim_{ n \to \infty } \left( \left| (f^{k})' ( x_{1} ) \right| \cdots \left| (f^{k}) ’ ( x_{n} ) \right| \right)^{1/n} \\ =& \lim_{ n \to \infty } \left( | f ' ( x_{1} ) | \cdots | f ' ( x_{n} ) | \right)^{k/n} \\ =& L^{k} \end{align*} $$
計算過程をみると自然に逆も成り立ち、$f$の下で$x_{1}$のリアプノフ指数が$ h = f^{k}$の下で$x_{1}$のリアプノフ指数である。
パート4.
$k > 1$とすると、$y_{1}$は$f^{k}$の不動点であり、$\left\{ x_{1} , x_{2} , \cdots \right\}$は$\left\{ y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{k}, \cdots \right\}$にアシンプトティックにピリオディックである。
$$ \begin{align*} h(x_{1} ) =& \lim_{ n \to \infty } {{1} \over {n}} \left( \ln | f ' ( x_{1} ) | + \cdots + \ln | f ' ( x_{n} ) | \right) \\ =& \lim_{ n \to \infty } {{1} \over {n}} \ln \left( | f ' ( x_{1} ) | \cdots | f ' ( x_{n} ) | \right) \\ =& \lim_{ n \to \infty } {{1} \over {k \cdot n}} \ln \left( | f ' ( x_{1} ) |^{k} \cdots | f ' ( x_{n} ) |^{k} \right) \\ =& {{1} \over {k}} \lim_{ n \to \infty } \ln \left( | (f^{k} ) ’ ( x_{n} ) | \right) = {{1} \over {k}} \ln \left| ( f^{k} )' ( y_{1} ) \right| \end{align*} $$
パート2.により、$f^{k}$の下で$x_{1}$のリアプノフ指数は
$$ \ln \left| (f^{k})' (y_{1}) \right| $$
パート3.により、$f$の下で$x_{1}$のリアプノフ指数は
$$ h( x_{1} ) = {{1} \over {k}} \ln \left| ( f^{k} )' ( y_{1} ) \right| = h ( y_{1} ) $$
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