📂動力学

ロジ写像

定義 ¹

次のように力学系を定義する写像をロジ写像^{Lozi map map}という。 $$\begin{align*} x \mapsto& 1 - a \left| x \right| + y \\ y \mapsto& b x \end{align*}$$

説明

ロジ写像はエノン写像において、$x^{2}$を$\left| x \right|$に置き換えた写像であり、連続だが微分不可能な点$x = 0$が存在する。その分岐図とリアプノフスペクトルは以下の通りである。

コード

以下はロジ写像の分岐図をジュリアで再現するコードである。

b = 0.3
hrzn = []; vrtc = []
for a = 0.5:0.001:1.8
    Lozi(x) = [1 + x[2] - a*abs(x[1]), b*x[1]]
    v_ = [[.0, .0]]
    for k in 1:1000
        push!(v_, Lozi(v_[end]))
    end
    push!(hrzn, fill(a, 500))
    push!(vrtc, first.(v_[(end-500):end]))
end
p1 = plot(legend = :none, xlabel = "a", ylabel = "x", title = "Lozi map")
for ak in eachindex(hrzn)
    scatter!(p1, hrzn[ak], vrtc[ak], color = :black, ms = 0.5, ma = 0.5)
end
plot!(p1, xlims = [0.5, 1.5]);
png("Lozi_map.png")