📂解析学

積分可能性は連続関数との合成で保存される

この文章は、リーマン・スティルチェス積分を基準にして書かれている。それを$\alpha=\alpha (x)=x$とすると、リーマン積分と同じである。

定理¹

関数$f$が区間$[a,b]$でリーマン(-スティルチェス)積分可能であるとし、$m \le f \le M$とする。$\phi$を区間$[m,M]$で連続な関数とする。関数$h$を$h=\phi \circ f$と定義する。すると、$h$は区間$[a,b]$でリーマン(-スティルチェス)積分可能である。

証明

任意の正の数$\varepsilon>0$が与えられたとする。$[m,M]$は閉じていて有界なのでコンパクトであり、コンパクト集合上の連続関数は一様連続であるので、$\phi$は一様連続である。したがって、一様連続の定義により、以下の式が成り立つような$\delta < \varepsilon$が存在する。

$$ \begin{equation} |s-t| < \delta \implies |\phi (s) - \phi (t) | < \varepsilon \quad \forall s,t \in [m,M] \end{equation} $$

そして、$f$が積分可能であるので、必要十分条件により、以下の式を満たす分割$P$が存在する。

$$ \begin{equation} U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \delta^2 \end{equation} $$

そして、次のように設定する。

$$ {M_{i}}^{f}=\sup f (x) \quad \text{and} \quad {m_{i}}^{f}=\inf f (x)\quad (x_{i-1} \le x \le x_{i} ) \\ {M_{i}}^{\phi}=\sup \phi (x) \quad \text{and} \quad {m_{i}}^{\phi}=\inf \phi (x)\quad (x_{i-1} \le x \le x_{i} ) $$

今、インデックス$i=1,2,\cdots,n$を以下の規則によって二つのグループに分類する。

$$ \begin{equation} \begin{cases} i \in A, &\mathrm{if}\ M_{i}^{f} -m_{i}^{f} <\delta \\ i \in B, &\mathrm{if}\ M_{i}^{f} -m_{i}^{f} \ge\delta \end{cases} \end{equation} $$

すると、$i \in A$については、$(1)$によって${M_{i}}^{\phi} -{m_{i}}^{\phi} < \varepsilon$である。

$i \in B$については、以下の数式を満たす$K$を考えることができる。

$$ \begin{equation} {\color{green} {M_{i}}^{\phi} -{m_{i}}^{\phi} } \le {\color{blue} 2K} (K=\sup |\phi (t)|, m \le t \le M) \end{equation} $$

（ある区間での最大値と最小値の差が、全体の区間での最大値の2倍より大きいことは絶対に不可能である）したがって、以下の不等式が成立する。

$$ \begin{align*} \delta \sum \limits_{i \in B} \Delta \alpha_{i} &= \sum \limits_{i \in B} \delta \Delta \alpha_{i} \\ &\le \sum \limits_{i \in B} (M_{i}^{f} -m_{i}^{f})\Delta \alpha_{i} & \text{by (3)} \\ &\le \sum \limits_{i \in B} (M_{i}^{f} -m_{i}^{f})\Delta \alpha_{i} + \sum \limits_{i \in A} (M_{i}^{f} - m_{i}^{f})\Delta \alpha_{i} \\ &= \sum \limits_{i=1}^n (M_{i}^{f}-m_{i}^{f})\Delta \alpha_{i} \\ &= U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) \\ &< \delta^2 & \text{by (2)} \end{align*} $$

したがって、まとめると以下のようになる。

$$ \begin{equation} \sum \limits_{i \in B} \Delta \alpha_{i}< \delta \end{equation} $$

それでは、積分可能であるための必要十分条件を示すために、以下のように不等式を整理しよう。

$$ \begin{align*} U(P,h,\alpha) - L(P,h,\alpha) & = \sum \limits_{i \in A}{\color{green}({M_{i}}^{\phi} -{m_{i}}^{\phi} ) }\Delta \alpha _{i} + \sum \limits_{i \in B} {\color{blue}({M_{i}}^{\phi} -{m_{i}}^{\phi} )} \Delta \alpha_{i} \\ &< \sum \limits_{i \in A} {\color{green}\boldsymbol{\varepsilon} }\Delta \alpha _{i} + \sum \limits_{i \in B} {\color{blue}2K} \Delta \alpha_{i} & \text{by } {\color{green}(1)}, {\color{blue}(4)} \\ &= \varepsilon \sum \limits_{i \in A} \Delta \alpha _{i} + 2K \sum \limits_{i \in B} \Delta \alpha_{i} \\ &< \varepsilon \sum \limits_{i \in A} \Delta \alpha _{i} + 2K \delta & \text{by (5)} \\ &< \varepsilon \sum \limits_{i \in A} \Delta \alpha_{i} +2K\varepsilon \\ &=\varepsilon ( S+ 2K) \quad \left( S=\sum \limits_{i \in A} \Delta \alpha_{i} \right) \end{align*} $$

したがって、まとめると以下のようになる。

$$ U(P,h,\alpha) - L(P,h,\alpha) < \varepsilon ( S+ 2K) $$

これは積分可能であるための必要十分条件であるので、$h$は積分可能である。

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