📂関数

単調関数、増加関数、減少関数

定義

関数 $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$が与えられたとする。$x_{1}$、$x_{2}$、$\in [a,b]$に対して

$$x_{1} \lt x_{2} \ \implies f(x_{1}) \le f(x_{2})$$

を満たす場合、$f$は 単調に増加^{monotonically increasing}すると言い、$f$を 単調増加関数^{monotone increasing function}と呼ぶ。逆に

$$x_{1} \lt x_{2} \ \implies f(x_{1}) \ge f(x_{2})$$

を満たす場合、$f$は 単調に減少^{monotonically decreasing}すると言い、$f$を 単調減少関数^{monotone decreasing function}と呼ぶ。

$f$が単調増加関数か単調減少関数であれば、$f$を 単調関数^monotoneと呼ぶ。

説明

単調に増加するとは、変数が大きくなるにつれて、関数の値が 少なくとも減少しないということを意味する。逆に、単調に減少するとは、少なくとも増加しないということを意味する。

定義

以下の式

$$x_{1} \lt x_{2} \implies f(x_{1}) \lt f(x_{2})$$

を満たす$f$を 厳密に増加関数^{strictly increasing function}と呼ぶ。逆に

$$x_{1} \lt x_{2} \implies f(x_{1}) \gt f(x_{2})$$

を満たす$f$を 厳密に減少関数^{strictly increasing function}と呼ぶ。