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体の自己同型写像 📂抽象代数

体の自己同型写像

定義 1

EE を FF の拡大体とする。

  1. 体 EE に対する同型写像 σ:E→E\sigma : E \to E を自己同型automorphismと呼び、EE の自己同型の集合を Auto(E)\text{Auto} (E) と表す。
  2. σ∈Auto(E)\sigma \in \text{Auto} (E) に対して σ(a)=a\sigma ( a ) = a ならば、σ\sigma が固定したaa を残すと言う。
  3. S⊂Auto(E)S \subset \text{Auto} (E) とする。全ての a∈Fa \in F に対して全ての σ∈S\sigma \in S が固定した aa を残すならば、SS が固定した部分体 FF を残すと言う。
  4. {σ}⊂Auto(E)\left\{ \sigma \right\} \subset \text{Auto} (E) が固定した FF を残すならば、σ\sigma が固定した FF を残すと言う。
  5. {σ}⊂Auto(E)\left\{ \sigma \right\} \subset \text{Auto} (E) が固定した体 E{σ}E_{ \left\{ \sigma \right\} } を残すならば、σ\sigma が固定した体 EσE_{\sigma} を残すと言う。
  6. FF を残す EE の全ての自己同型の集合を G(E/F)G ( E / F ) と表し、FF 上での EEの群と呼ぶ。

定理

  • [1]: <Auto(E),∘>\left< \text{Auto} ( E ) , \circ \right> は群である。
  • [2]: G(E/F)≤Auto(E)G ( E / F) \le \text{Auto} ( E )

例

言葉が非常に難しく複雑であるため、例を通じて概念的に理解する方が良い。

F=Q(2)≤Q(2,3)=E F = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) \le \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = E とすると、(x2−3)∈F[x](x^2 - 3) \in F [ x ] は FF 上の既約元なので、3,−3\sqrt{3} , \sqrt{-3} は EE 上の素元である。共役同型写像定理により、ψ3,−3:E→E\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } : E \to E は同型写像であり、したがって ψ3,−3∈Auto(E) \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } \in \text{Auto} (E) であることが分かる。

実際に関数 ψ3,−3\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } を取ってみる。a,b,c,d∈Qa,b,c,d \in \mathbb{Q} に対して ψ3,−3(a+b2+c3+d6)=a+b2−c3−c23 \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ( a+ b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} ) = a+ b \sqrt{2} - c \sqrt{3} - c \sqrt{2} \sqrt{3} 全ての (x+y2)∈Q(2)( x + y \sqrt{2} ) \in \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) に対しては、

ψ3,−3(x+y2)=x+y2 \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ( x + y \sqrt{2} ) = x + y \sqrt{2} なので、ψ3,−3\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } は固定した Q(2)\mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) を残すと言える。簡単に言うと、Q(2)\mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) は ψ3,−3\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } の影響を受けない部分体と見なせる。「固定する」や「残す」といった表現を使うのはこの意味である。

また、恒等写像 II と関数の合成操作 ∘\circ について、 (ψα,−α∘ψα,−α)=I \left( \psi_{ \alpha , - \alpha } \circ \psi_{ \alpha , - \alpha } \right) = I したがって、 <{I,ψ2,−2,ψ3,−3,(ψ2,−2∘ψ3,−3)},∘> \left< \left\{ I, \psi_{ \sqrt{2} , - \sqrt{2} }, \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } , ( \psi_{ \sqrt{2} , - \sqrt{2} } \circ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ) \right\} , \circ \right> は群を成すだけでなく、特にクラインの四元群と同型となる。

証明

[1]

  • (i): 関数の合成 ∘\circ は結合法則を満たし、Auto(E)\text{Auto} ( E ) の関数同士の合成は EE の自己同型となる。
  • (ii): 恒等写像 I:E→EI : E \to E は、全ての a∈Ea \in E に対して I(a)=aI (a) = a なので自己同型であり、I∈Auto(E)I \in \text{Auto} ( E ) である。
  • (iii): Auto(E)\text{Auto} ( E ) は自己同型の集合なので、任意の σ\sigma に対してその逆写像 σ−1∈Auto(E)\sigma^{-1} \in \text{Auto} ( E ) が存在する。

■

[2]

  • (i): 関数の合成 ∘\circ は結合法則を満たし、σ,τ∈G(E/F)\sigma , \tau \in G ( E / F ) と a∈Fa \in F に対して (στ)=σ(τ(a))=σ(a)=a (\sigma \tau) = \sigma ( \tau ( a ) ) = \sigma (a) = a ので、(στ)∈G(E/F)(\sigma \tau) \in G ( E / F ) である。
  • (ii): 恒等写像 II は G(E/F) G ( E / F ) の単位元となる。
  • (iii): σ(a)=a\sigma ( a ) = a ならば a=σ−1(a)a = \sigma^{-1} (a) なので、σ−1∈G(E/F)\sigma^{-1} \in G ( E / F ) である。

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  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p418. ↩︎