📂抽象代数

共軛同型写像定理の証明

定義 ¹

体 $F$ 上で$\alpha$が代数的だとしよう。

1. 最大項の係数が$1$で$p( \alpha ) = 0$を満たす$p(x) \in F [ x ]$を**$F$上での$\alpha$に対する既約多項式**と言って、$\text{irr} ( \alpha , F) = p(x)$と表される。
2. $\text{irr} ( \alpha , F)$の最大項の次数を**$F$上での$\alpha$の次数**と言って、$\deg ( \alpha , F )$と表される。
3. $F$の代数的拡大体 $E$において、$\text{irr} ( \alpha , F) = \text{irr} ( \beta , F)$とするとき、二つの元$\alpha , \beta \in E$は$F$上で共役^conjugateと言われる。

例

自然な例として、共役複素数 $\overline{ a + ib } = a - ib$を考えてみよう。既約多項式 $$p(x) := (x^2 - 2ax + a^2 + b^2) \in \mathbb{R}[x]$$ を定義すると $$\begin{align*} & p\left( a + ib \right) \\ =& a^2 + i2ab - b^2 - 2a^2 - i2ab + a^2 + b^2 \\ =& 0 \\ =& a^2 - i2ab - b^2 - 2 a^2 + i2ab + a^2 + b^2 \\ =& p \left( a - ib \right) \end{align*}$$ だから、代数学の表現を使っても$\left( a + ib \right) , \left( a - ib \right) \in \mathbb{C}$は$\mathbb{R}$上で共役であることがわかる。

共役についてもっと直感的に理解する例として、誤差方程式 $$x^5 + x^3 + x^2 + 1 = 0$$ を考えてみよう。

既約因子$\mathbb{R} [ x ]$に因数分解すると $$x^5 + x^3 + x^2 + 1 = (x^3+1)(x^2+1) = (x+1) ( x^2 + x + 1 ) ( x^2+ 1 )$$ だから、解$x=-1$、$x= \pm 1$、$\displaystyle x= {{-1 \pm \sqrt{ - 3} } \over {2}}$を見つけることができる。これらはすべて与えられた方程式を満たすが、$x=-1$は一次方程式の解になるので、他の解と共役になることはできない。また、$x=i$と$\displaystyle x= {{-1 + \sqrt{ - 3} } \over {2}}$は異なる既約多項式の零だから共役ではない。

複素数を使わずに共役になる例として、$(x^2 - 2 ) \in \mathbb{Q} [ x ]$の零である$\sqrt{2}$と$(- \sqrt{2})$は$\mathbb{Q}$上で共役である。

定理

体$F$上で代数的な$\alpha$に対して$\deg ( \alpha , F) = n$としよう。写像$\psi_{\alpha , \beta} : F( \alpha ) \to F ( \beta )$を $$\psi_{ \alpha , \beta } ( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha^{n-1} ) := c_{0} + c_{1} \beta + \cdots + c_{n-1} \beta^{n-1}$$ と定義すると

• $\psi_{ \alpha , \beta }$は同型写像$\iff$$\text{irr} ( \alpha , F) = \text{irr} ( \beta , F)$

証明

$( \implies )$とする。

$$\text{irr} ( \alpha , F) := a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$$ で、 $$a_{0} + a_{1} \alpha + \cdots + a_{n} \alpha^{n} = 0$$ だ。$\psi_{ \alpha , \beta }$は同型写像なので、 $$\begin{align*} \psi_{ \alpha , \beta } ( 0) =& \psi_{ \alpha , \beta } ( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n} \alpha^{n} ) \\ =& c_{0} + c_{1} \beta + \cdots + c_{n} \beta^{n} \\ =& 0 \end{align*}$$ だ。これはすなわち$\text{irr} ( \beta , F)$が$\text{irr} ( \alpha , F)$を割ることを意味し、$( \psi_{ \alpha , \beta } )^{-1} = \psi_{ \beta , \alpha }$についても同様なので、次のように成り立つ。 $$\text{irr} ( \beta , F) = \text{irr} ( \alpha , F)$$

---

$( \impliedby )$

$$p(x) := \text{irr} ( \beta , F) = \text{irr} ( \alpha , F)$$ として代入関数$\phi_{\alpha} : F [ x ] \to F(\alpha)$と$\phi_{\beta} : F [ x ] \to F(\beta)$を定義しよう。すると、$p( \alpha ) = p( \beta ) = 0$のため、$\phi_{\alpha}$と$\phi_{\beta}$は同じ核$\left< p(x) \right> \subset F [ x ]$を持つ。

準同型写像の基本定理: 環$R$、$r '$に対して準同型写像$\phi : R \to r '$が存在する場合、$R / \ker ( \phi ) \simeq \phi (R)$

準同型写像の基本定理により、二つの同型写像$\psi_{\alpha} : F / \left< p(x) \right> \to F ( \alpha )$と$\psi_{\beta} : F / \left< p(x) \right> \to F (\beta )$が存在する。これに $$\psi_{\alpha , \beta } := \psi_{\alpha} \circ ( \psi_{\alpha} )^{-1}$$ とすると、$\psi_{\alpha , \beta } : F ( \alpha ) \to F ( \beta )$も同型写像である。従って、$( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha^{n-1} ) \in F ( \alpha )$に対して次のように成り立つ。 $$\begin{align*} & \psi_{ \alpha , \beta } ( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha^{n-1} ) \\ =& \left( \psi_{\alpha} \circ ( \psi_{\alpha} )^{-1} \right) ( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha^{n-1} ) \\ =& \psi_{\beta} \left( ( c_{0} + c_{1} x + \cdots + c_{n-1} x^{n-1} ) + \left< p(x) \right> \right) \\ =& c_{0} + c_{1} \beta + \cdots + c_{n-1} \beta^{n-1} \end{align*}$$

■

一方、実数係数の方程式については、以下の有用な系を得ることができる。

系

$f(x) \in \mathbb{R} [ x ]$に対して$f ( a + ib) = 0$の場合、$f ( a - ib) = 0$

系の証明

$f(x) := c_{0} + c_{1} x + \cdots + c_{n} x^{n}$としよう。

$f ( a + ib) = 0$なので、 $$f( a + ib ) := c_{0} + c_{1} ( a + ib ) + \cdots + c_{n} ( a + ib )^{n} = 0$$ $i$と$-i$は$\mathbb{R}$上で共役なので、次のように成り立つ。 $$0 = \psi_{i , -i} \left( 0 \right) = \psi_{i , -i} \left( f ( a + ib) \right)= f ( a - ib)$$

■