📂電磁気学

電場の発散

公式¹

体積電荷密度が$\rho$の体積電荷が作る電場 $\mathbf{E}$のダイバージェンスは以下の通りである。

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho ( \mathbf{r} ) $$

説明

電場のダイバージェンスはガウスの法則の微分形とも呼ばれる。両辺を積分するとガウスの法則の積分形を得る。

証明

体積電荷が作る電場

$$ \mathbf{E}(\mathbf {r}) =\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{\rho (\mathbf{r}^{\prime})}{\cR^2} \crH d\tau^{\prime} $$

ここで、$\bcR=\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}$は分離ベクトルである。分離ベクトルのダイバージェンスは$\nabla \cdot \left( \dfrac{1}{\cR^2}\crH \right) = 4\pi \delta^3(\bcR)$であるため、電場のダイバージェンスを計算すると次のようになる。

$$ \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{E} =&\ \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int \nabla \cdot \left( \dfrac{ \hat {\boldsymbol {\cR}} } { \cR ^2} \right) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int 4\pi \delta ^3 (\bcR ) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} 4\pi \int\delta ^3 (\boldsymbol{\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}} ) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \int \delta ^3 (\boldsymbol{\mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{r}} ) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho (\mathbf{r} ) \end {align*} $$

ここで、$\delta$はディラックのデルタ関数である。両辺に積分をとると次のようになる。

$$ \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{E} d\tau = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \rho (\mathbf{r})d\tau =\dfrac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\text{in}} $$

$\rho$が体積電荷密度であるため、全領域にわたって積分すると体積内に含まれる全電荷量$Q_{\text{in}}$である。そして知られているように、これはガウスの定理の積分形である。

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