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電場の発散 📂電磁気学

電場の発散

公式1

体積電荷密度がρ\rhoの体積電荷が作る電場 E\mathbf{E}のダイバージェンスは以下の通りである。

∇⋅E=1ϵ0ρ(r) \nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho ( \mathbf{r} )

説明

電場のダイバージェンスはガウスの法則の微分形とも呼ばれる。両辺を積分するとガウスの法則の積分形を得る。

証明

体積電荷が作る電場

E(r)=14πϵ0∫Vρ(r′)2dτ′ \mathbf{E}(\mathbf {r}) =\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{\rho (\mathbf{r}^{\prime})}{\cR^2} \crH d\tau^{\prime}

ここで、=r−r′\bcR=\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}は分離ベクトルである。分離ベクトルのダイバージェンスは∇⋅(12)=4πδ3()\nabla \cdot \left( \dfrac{1}{\cR^2}\crH \right) = 4\pi \delta^3(\bcR)であるため、電場のダイバージェンスを計算すると次のようになる。

∇⋅E= 14πϵ0∫∇⋅(^2)ρ(r′)dτ′= 14πϵ0∫4πδ3()ρ(r′)dτ′= 14πϵ04π∫δ3(r−r′)ρ(r′)dτ′= 1ϵ0∫δ3(r′−r)ρ(r′)dτ′= 1ϵ0ρ(r) \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{E} =&\ \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int \nabla \cdot \left( \dfrac{ \hat {\boldsymbol {\cR}} } { \cR ^2} \right) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int 4\pi \delta ^3 (\bcR ) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} 4\pi \int\delta ^3 (\boldsymbol{\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}} ) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \int \delta ^3 (\boldsymbol{\mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{r}} ) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho (\mathbf{r} ) \end {align*}

ここで、δ\deltaはディラックのデルタ関数である。両辺に積分をとると次のようになる。

∫V∇⋅Edτ=1ϵ0∫Vρ(r)dτ=1ϵ0Qin \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{E} d\tau = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \rho (\mathbf{r})d\tau =\dfrac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\text{in}}

ρ\rhoが体積電荷密度であるため、全領域にわたって積分すると体積内に含まれる全電荷量QinQ_{\text{in}}である。そして知られているように、これはガウスの定理の積分形である。

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  1. David J. Griffiths, 基礎電磁気学(Introduction to Electrodynamics, 木村進訳) (第4版, 2014), p77-78 ↩︎