📂抽象代数

ユークリッド幾何学

定義 ¹

整域 $D$ で以下の二つの条件を満たす ユークリッドノルム $\nu : D \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{N}_{0}$ が存在する場合、$D$ をユークリッド整域と言う。

• (i): すべての $a,b \in D (b \ne 0 )$ に対して $$ a = bq + r $$ を満たす $q$ と $r$ が存在する。この時、$r = 0$ または $\nu (r) < \nu (b)$ のどちらかでなければならない。
• (ii): すべての $a,b \in D (b \ne 0 )$ に対して $\nu ( a ) \le \nu ( ab )$

---

• $\mathbb{N}_{0}$ は自然数の集合に $0$ を含む集合を意味する。

定理

ユークリッド整域 $D$ の単位元を $0$、単位元を $1$, ユークリッドノルムを $\nu$ としよう。

• [3]: $0$ ではないすべての $d \in D$ に対して $\nu (1) \le \nu (d)$
• [4]: $u \in D$ は単位元 $\iff$ $\nu ( u ) = \nu (1)$

---

• PIDは主理想整域を、UFDは一意分解整域を指す。
• 単位元は乗算の単位元 $1$ であり、単位元は乗算の逆元を持つ元である。

説明

「ユークリッド整域」という言葉はそれほど長くないが、通常EDという略称がよく使われる。

条件 (i) と (ii) は整数環 $\mathbb{Z}$ では自然に満たされている条件で、ユークリッドノルム $\nu ( n ) := | n |$ が存在して $\mathbb{Z}$ はユークリッド整域になる。もともとユークリッドノルムという言葉自体が数論のユークリッドの互除法から来ているのだ。

一方、体 $F$ に対して $F [ x ]$ を考えると、ユークリッドノルム $\nu ( f(x) ) : = \deg ( f(x) )$ を定義することによってユークリッド整域になる。もともと割り算の定理がこの条件に該当する。

上のように様々な整域を図示すると、EDがどれだけ多くの良い性質を持っているか簡単にわかる。

証明

1

$D$ のイデアルを $N$ としよう。

$N = \left\{ 0 \right\} = \left< 0 \right>$ は自然に主理想なので、$N \ne \left\{ 0 \right\}$ を考えよう。

$0$ ではないすべての $n \in N$ に対して、 $$ \nu (b) \le \nu (n) $$ を満たす $b \ne 0$ を見つけることができる。これを$a \in N$ とすると、条件 (i) により $$ a = b q + r $$ を満たす $q,r \in D$ が存在しなければならない。$N = Nq$ はイデアルなので、$r = a - bq$ も $N$ に存在する元であることがわかる。$b$ は$\nu (b)$ を最小にする元だったので、条件 (ii) により $r=0$ でなければならない。すべての元 $a \in N$ が $a = bq$ として表されるということはつまり $N = \left< b \right>$ であり、すべてのイデアル $N$ は主理想である。

■

2

EDはPIDであり、PIDはUFDなので、EDもUFDである。

■

[3]

条件 (ii) により $$ \nu (1) \le \nu ( 1 d) = \nu (d) $$

■

[4]

$( \implies )$

$u$ が単位元なので、その逆元 $u^{-1}$ が存在して $$ \nu ( u ) \le \nu ( u u^{-1} ) = \nu (1) $$ そして、定理 [3] により $\nu (1) \le \nu (1)$ よって $$ \nu ( u ) = \nu (1) $$

$( \impliedby )$

$1 = uq + r$ とすると、定理 2 により、$\nu ( u) = \nu (1)$ は $\nu (0)$ を除いて最小である。定理 [3] により、$\nu ( r) < \nu (u)$ を満たす場合は $r=0$ のみで、$1 = uq$ となり、$u$ は単位元となる。

■

参照

• ユークリッド整域 $\implies$ 主理想整域 $\implies$ 一意分解整域 $\implies$ 整域
• ユークリッド整域 $\implies$ 主理想整域 $\implies$ ネーター環