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ユークリッド幾何学

定義 ¹

整域 $D$ において次の二つの条件を満たすユークリッドノルム^{euclidean Norm} $\nu : D \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{N}_{0}$ が存在すれば、$D$ をユークリッド整域という。

• (i): 全ての $a,b \in D (b \ne 0 )$ に対して $$a = bq + r$$ を満たす $q$ と $r$ が存在する。このとき $r = 0$ か $\nu (r) < \nu (b)$ のいずれかでなければならない。
• (ii): 全ての $a,b \in D (b \ne 0 )$ に対して $\nu ( a ) \le \nu ( ab )$

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• $\mathbb{N}_{0}$ は自然数の集合に $0$ を含む集合を意味する。

定理

ユークリッド整域 $D$ の単位元を $0$、単元を $1$、ユークリッドノルムを $\nu$ とする。

• [1]: すべての ED は PID である。
• [2]: すべての ED は UFD である。
• [3]: $0$ ではないすべての $d \in D$ に対して $\nu (1) \le \nu (d)$
• [4]: $u \in D$ が単元 $\iff$ $\nu ( u ) = \nu (1)$

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• PID は 主イデアル整域 であり、UFD は 唯一分解整域である。
• 単元 は乗法における単位元 $1$ であり、逆元 は乗法における逆元を持つ要素である。

説明

「ユークリッド整域」という言葉はあまり長くはないが、通常は ED という略語が多く使用される。

条件 (i)、(ii) は整数環 $\mathbb{Z}$ において自然に満たされる条件であり、ユークリッドノルム $\nu ( n ) := | n |$ が存在するので $\mathbb{Z}$ はユークリッド整域になる。そもそもユークリッドノルムという言葉自体が整数論のユークリッド互除法から取られたものである。

一方、体 $F$ に対して $F [ x ]$ を考えると、ユークリッドノルム $\nu ( f(x) ) : = \deg ( f(x) )$ を定義することでユークリッドノルムになる。そもそも除法定理がこの条件に該当する。

様々な整域を図示すると上記のようになり、EDがいかに多くの良い性質を持っているかが一目でわかる。

証明

[1]

$D$ のイデアルを $N$ と置く。

$N = \left\{ 0 \right\} = \left< 0 \right>$ は当然主イデアルなので、$N \ne \left\{ 0 \right\}$ について考える。

すると、$0$ ではない全ての $n \in N$ に対して $$\nu (b) \le \nu (n)$$ を満たす $b \ne 0$ を一つ取ることができる。$a \in N$ とすると条件 (i) により $$a = b q + r$$ を満たす $q,r \in D$ が存在する必要がある。$N = Nq$ はイデアルであるため、$r = a - bq$ もまた $N$ に存在する要素であることがわかる。$b$ は $\nu (b)$ が最も小さくなるような要素であったため、条件 (i) により $r=0$ でなければならない。全ての要素 $a \in N$ が $a = bq$ として示されることはすなわち $N = \left< b \right>$ ということであり、全てのイデアル $N$ は主イデアルである。

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[2]

ED は PID であり、PID は UFDであるため ED は UFD である。

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[3]

条件 (ii) により $$\nu (1) \le \nu ( 1 d) = \nu (d)$$

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[4]

$( \implies )$

$u$ が単元であるため、その逆元 $u^{-1}$ が存在して $$\nu ( u ) \le \nu ( u u^{-1} ) = \nu (1)$$ であり、定理[3]により $\nu (1) \le \nu (1)$ なので $$\nu ( u ) = \nu (1)$$

$( \impliedby )$

$1 = uq + r$ とする。$\nu (1) = \nu (u)$ ならば $\nu (1) < \nu (u)$ ではないので定義の条件 (i) により $r=0$ でなければならない。したがって $1 = uq$ であり、$u$ は単元となる。

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関連項目

• ユークリッド整域 $\implies$ 主イデアル整域 $\implies$ 唯一分解整域 $\implies$ 整域
• ユークリッド整域 $\implies$ 主イデアル整域 $\implies$ ネーター環