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分離ベクトルの発散 📂数理物理学

分離ベクトルの発散

式

∇⋅(1r2r^)= 4πδ3(r)∇⋅(12)= 4πδ3()∇2(1)= −4πδ3() \begin{align*} \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{r^2}\hat{ \mathbf{r} } \right) =&\ 4\pi \delta^3(\mathbf{r}) \\[1em] \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{\cR^{2}} \crH \right) =&\ 4\pi \delta^3(\bcR) \\[1em] \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\cR} \right) =&\ -4\pi \delta^3 ( \bcR ) \end{align*}

ここで、r\mathbf{r}は位置ベクトル、\bcRは分離ベクトルだ。

説明

ベクトル関数 v=1r2r^\mathbf{v} = \dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}}があるとする。その大きさは距離の二乗に反比例し、方向は半径の方向だ。これからこの関数の発散を計算してみよう。球座標系での勾配の公式を使って、

∇⋅v=1r2∂∂r(r21r2)=1r2∂∂r(1)=0 \nabla \cdot \mathbf{v} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left( r^2\dfrac{1}{r^2} \right) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(1)=0

しかし、発散定理を適用して計算すると、まったく異なる結果が出る。

発散定理

∫V∇⋅vdτ=∮Sv⋅da \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{v} d\tau = \oint _{S} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a}

中心が原点で半径がRRの球について積分するとしよう。

∫V∇⋅vdτ=∮Sv⋅da=∫(1R2r^)⋅(R2sin⁡θdθdϕr^)=∫sin⁡θdθdϕ=(∫0πsin⁡θdθ)(∫02πdϕ)=4π \begin{align*} \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{v} d\tau &= \oint _{S} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} \\ &= \int \left(\dfrac{1}{R^2}\hat{\mathbf{r}} \right) \cdot \left( R^2 \sin \theta d\theta d \phi \hat{\mathbf{r}} \right) \\ &= \int \sin \theta d\theta d\phi \\ &= \left( \int _{0} ^\pi \sin \theta d\theta \right) \left( \int _{0} ^2\pi d\phi \right) \\ &= 4\pi \end{align*}

上に計算した結果によると∇⋅v=0\nabla \cdot \mathbf{v}=0なので、これを積分しても00になるべきだ。しかし、発散定理に従って計算した結果は4π4\piだ。どこかに問題があるのは明らかだ。問題があるのはr=0r=0の部分だ。r=0r=0でv=1r2r^\mathbf{v}=\dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}}の値が無限大になる。元々、1r2\dfrac{1}{r^2}はr=0r=0での値が存在しない。∇⋅v=0\nabla \cdot \mathbf{v}=0というのはr≠0r\ne 0の全ての場所での値が00であるという意味だ。しかし、原点を含んで積分した結果が4π4\piなので、この積分値はr=0r=0の場所からのみ出てくると言える。この問題を解決するために、ディラックのデルタ関数が導入された。 {}\\ {}

  • 3次元であり、
  • 00ではない全ての場所での値が00であり、
  • 原点を含んだ全域における積分値が4π4\piになるようにするために、

∇⋅(1r2r^)=4πδ3(r) \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{r^2}\hat{ \mathbf{r} } \right) = 4\pi \delta^3(\mathbf{r})

一般的に分離ベクトルについて表すと、

∇⋅(12)=4πδ3()(1) \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{\cR^2}\crH \right) = 4\pi \delta^3(\bcR) \tag{1}

分離ベクトルの勾配は∇(1)=−12\nabla \left( \dfrac{1}{\cR} \right) = -\dfrac{1}{\cR^2}\crHなので、これを(1)(1)に代入すると、

∇⋅[−∇(1)]=4πδ3()  ⟹  ∇⋅[∇(1)]=−4πδ3()  ⟹  ∇2(1)=−4πδ3() \begin{align*} && \nabla \cdot \left[ -\nabla \left(\dfrac{1}{\cR} \right) \right] &= 4\pi \delta^3 ( \bcR ) \\ \implies && \nabla \cdot \left[ \nabla \left(\dfrac{1}{\cR} \right) \right] &= -4\pi \delta^3 ( \bcR ) \\ \implies && \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\cR} \right) &= -4\pi \delta^3 ( \bcR ) \end{align*}