📂解析学

上積分は下積分以上である。

この記事はリーマン-スティルチェス積分を基に書かれています。$\alpha=\alpha (x)=x$とすると、リーマン積分と同じです。

定理¹

任意の分割に対して、リーマン(-スティルチェス)上和はリーマン(-スティルチェス)下和より常に大きいか同じです。

$$\underline { \int _{a} ^b} f d\alpha \le \overline {\int _{a}^b} f d\alpha$$

証明

証明に先立って、次のように仮定しよう。

• $f : [a,b] \to \mathbb{R}$が有界です。
• $\alpha : [a,b] \to \mathbb{R}$は単調増加関数です。

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$P_{1}, P_{2}$を$[a,b]$の分割とし、$P^{\ast}$をそれらの共通細分とします。細分の上和(下和)は分割のそれより小さい(大きい)ので、次が成立します。

$$\begin{equation} \begin{aligned} &&L(P_{1},f,\alpha) \le L(P^{\ast},f,\alpha) &\le U(P^{\ast},f,\alpha) \le U(P_{2},f,\alpha) \\ \implies&& L(P_{1},f,\alpha) &\le U(P_{2},f,\alpha) \end{aligned} \label{eq1} \end{equation}$$

ここで、$P_{2}$を固定し、全ての$P_{1}$に対して$\sup$を取ります。そうすると、下積分の定義により、次を得ます。

$$\sup\limits_{P_{1}} L(P_{1},f,\alpha) = \underline {\int _{a} ^b} f d\alpha \le U(P_{2}, f , \alpha)$$

同様に、上式の$P_{2}$に対して$\inf$を取ると、上積分の定義により、次を得ます。

$$\underline {\int _{a} ^b} f d\alpha \le \inf \limits_{P_{2}} U(P_{2}, f , \alpha) = \overline {\int _{a} ^b} f d\alpha$$

したがって、次の結果を得ます。

$$\underline{\int _{a} ^b} f d\alpha \le \overline { \int _{a} ^b} f d\alpha$$

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系

任意の二つの分割に対しても、リーマン-スティルチェス上和は下和より常に大きいか同じです。

$$L(P_{1},f,\alpha) \le U(P_{2}, f, \alpha) \quad \forall P_{1},\ P_{2}$$

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これは$\eqref{eq1}$によって成立します。