📂抽象代数

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定義

$N$ を環としよう。

1. $N$ のイデアルたちが $S_{1} \le S_{2} \le \cdots$ を満たすとき、これを昇鎖^{ascending Chain}という。
2. 昇鎖 $\left\{ S_{i} \right\}_{i \in \mathbb{N} }$ に対して $S_{n} = S_{n+1} = \cdots$ を満たす $n \in \mathbf{n}$ が存在するなら、定常的^stationaryという。つまり、定常的な昇鎖ではイデアルがある点からこれ以上大きくならない。
3. 全ての昇鎖が定常的な環をネーター環と言う。

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• 逆に、徐々に小さくなる鎖に関しては、降鎖^descendingという言葉を使う。

説明

鎖はイデアルにのみ当てはまる概念ではなく、集合論では部分順序集合や関係を定義しながら、より厳密かつ一般的に扱われる。しかし、通常昇鎖が必要な場所は代数学であり、代数学ではそれほど複雑に理解する必要はない。

ある繰り返し構造の中で、有限の場所に最も大きなものが存在するというのは、思ったよりも自明ではない。だから、ネーター環であるという条件は、非常に好ましい条件であり、以下の有名な定理は多くの分野で応用されている。

ヒルベルトの基底定理

$N$ がネーター環であれば、$N [ x_{1} , \cdots , x_{n} ]$ もネーター環である。

参照

• ユークリッド整域 $\implies$ 主イデアル整域 $\implies$ ネーター環