📂電磁気学

不均一電場による極性分子の配向

説明 ¹

極性分子は外部電場がなくても双極子モーメントを持っている。もし一定の外部電場があれば、その電場と同じ方向に双極子モーメントが整列する。

しかし、外部電場が一定でなければ、$\mathbf{F}_+$と$\mathbf{F}_-$が同じではないので、トルクとともに実力も受ける。実力は次のように計算できる。$\pm q$での電場を$\mathbf{E}_\pm$とすると、

$$ \mathbf{F} = \mathbf{F}_+ + \mathbf{F}_- = q(\mathbf{E}_+ - \mathbf{E}_-) = q(\Delta \mathbf{E}) $$

$$ \begin{equation} \Delta \mathbf{E} = \Delta E_{x} \hat{\mathbf{x}} + \Delta E_{y} \hat {\mathbf{y}} + \Delta E_{z} \hat {\mathbf{z}} \label{1} \end{equation} $$

双極子の長さが非常に短い場合、$\Delta E_{x}$を全微分$dE_{x}$に近似できる。$\mathbf{d} = dx \hat{\mathbf{x}} + dy \hat {\mathbf{y}} + dz \hat {\mathbf{z}}$

$$ \begin{align*} \Delta E_{x} \approx dE_{x} =&\ \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x} dx + \dfrac{\partial E_{x}}{\partial y}dy + \dfrac{\partial E_{z}}{\partial z}dz \\ =&\ \left( \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x}\hat {\mathbf{x}} + \dfrac{\partial E_{x}}{\partial y} \hat {\mathbf{y}} + \dfrac{\partial E_{z}}{\partial z} \hat {\mathbf{z}} \right) \cdot (dx \hat {\mathbf{x}} + dy \hat {\mathbf{y}} + dz \hat {\mathbf{z}} ) \\ =&\ \nabla E_{x} \cdot \mathbf{d} \end{align*} $$

$E_{y}$と$E_{z}$も同じ方法で求めて$\eqref{1}$に代入すると、

$$ \begin{align*} \Delta \mathbf{E} =&\ (\nabla E_{x} \cdot \mathbf{d} ) \hat {\mathbf{x}} +( \nabla E_{y} \cdot \mathbf{d}) \hat {\mathbf{y}} +( \nabla E_{z} \cdot \mathbf{d} )\hat {\mathbf{z}} \\ =&\ \left( dx\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x} + dy\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y} + dz \dfrac{\partial E_{x} }{\partial z} \right) \hat {\mathbf{x}} + \left( dx\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x} + dy\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y} + dz \dfrac{\partial E_{y} }{\partial z} \right) \hat {\mathbf{y}} \\ &+ \left( dx\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x} + dy\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y} + dz \dfrac{\partial E_{z} }{\partial z} \right) \hat {\mathbf{z}} \\ =&\ \left( dx\dfrac{\partial }{\partial x} + dy\dfrac{\partial }{\partial y} + dz \dfrac{\partial }{\partial z} \right)E_{x} \hat {\mathbf{x}} + \left( dx\dfrac{\partial}{\partial x} + dy\dfrac{\partial }{\partial y} + dz \dfrac{\partial }{\partial z} \right) E_{y} \hat {\mathbf{y}} \\ &+ \left( dx\dfrac{\partial }{\partial x} + dy\dfrac{\partial }{\partial y} + dz \dfrac{\partial }{\partial z} \right) E_{z}\hat {\mathbf{z}} \\ =&\ \left( dx\dfrac{\partial }{\partial x} + dy\dfrac{\partial }{\partial y} + dz \dfrac{\partial }{\partial z} \right) \left( E_{x} \hat {\mathbf{x}} + E_{y} \hat {\mathbf{y}} +E_{z}\hat {\mathbf{z}} \right) \\ =&\ \left[ (dx \hat {\mathbf{x}} + dy \hat {\mathbf{y}} + dz \hat {\mathbf{z}} ) \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial x}\hat {\mathbf{x}} + \dfrac{\partial }{\partial y} \hat {\mathbf{y}}+ \dfrac{\partial }{\partial z} \hat {\mathbf{z}}\right)\right] \left( E_{x} \hat {\mathbf{x}} + E_{y} \hat {\mathbf{y}} +E_{z}\hat {\mathbf{z}} \right) \\ =&\ (\mathbf{d} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \end{align*} $$

だから、極性分子が受ける実力は$\mathbf{F}$である

$$ \begin{align*} \mathbf{F} =&\ q(\Delta \mathbf{E} ) \\ =&\ (q\mathbf{d} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \\ =&\ (\mathbf{p} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \end{align*} $$

■