📂幾何学

幾何学における接点と交差点

用語

二つのマニホールドが交わる一点を$p$としよう。この二つのマニホールドがただかすめるだけの場合、この点を接点^{tangent point}、お互いに交差する場合を横断点^{transversal point}と呼ぶ。

説明

接点と横断点を数学的に厳密に定義せずに、単に「用語」として説明する理由は、これらの概念自体が数学全般で別途定義する過程なしに直感的に使われることが多いためだ。

例として、$1$次元マニホールドである曲線の場合では接ベクトルで定義できそうだが、実際には$p$で微分可能でなければならないという但し書きを付けることになり、元々論じたい概念を完全にカバーすることができなくなる。幾何学的に接しているか交差しているかは微分可能性とは無関係であるべきで、実際、これは$n$次元のマニホールドに一般化された場合にも直面する慢性的な問題である。

さらに、マニホールドの次元が異なっていても接点と横断点の概念は有効である点にも注意しなければならない。例えば、曲面を垂直に貫く曲線がある場合、これらが交わる点は横断点であるべきで、このようなことを話すには前提としてマニホールドの次元を特定するべきではない。