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固体物理학 📂抽象代数

固体物理학

ビルドアップ

RR の全ての元 rr に対して nr=0n \cdot r = 0 を満たす最大の自然数 nnRR標数characteristicと定義する。そのような自然数が存在しない場合は、00RR の標数として定義する。乗算に関する単位元、つまり単位元を持つ環は次のような性質を持つ。

同様に、 FF素数 ppに対して以下のような性質を持つ。

  • 1’: FFの標数がppであれば、FFZp\mathbb{Z}_{p}と同型な部分体を持つ。
  • 2’: FFの標数が00であれば、FFQ\mathbb{Q}と同型な部分体を持つ。

定義 1

ここで、整数体Zp\mathbb{Z}_{p}と有理数体Q\mathbb{Q}素体prime fieldと呼ぶ。

説明

プライムという言葉がつくだけあって、極めて重要なフィールドだ。

1‘と2‘の逆を考えると、これらの素体と同型になるような部分体がなければFFは体ではなくなる。したがって、体であるかどうかを判断するのに役立つことができ、特に私たちにとって親しいという利点がある。

標数はニルラジカルと少し混同するかもしれないが、それぞれ加算i=1nr=nr=0\displaystyle \sum_{i=1}^{n} r = nr = 0と乗算i=1na=an=0\displaystyle \prod_{i=1}^{n} a = a^{n} = 0に関する概念と考えればいい。また、標数は条件を満たす最小のnnに関心があり、ニルラジカルは条件を満たすaaに関心がある。


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p250. ↩︎