固体物理학
ビルドアップ
環 $R$ の全ての元 $r$ に対して $n \cdot r = 0$ を満たす最大の自然数 $n$ を $R$ の標数characteristicと定義する。そのような自然数が存在しない場合は、$0$ を $R$ の標数として定義する。乗算に関する単位元、つまり単位元を持つ環は次のような性質を持つ。
同様に、体 $F$は素数 $p$に対して以下のような性質を持つ。
定義 1
ここで、整数体$\mathbb{Z}_{p}$と有理数体$\mathbb{Q}$を素体prime fieldと呼ぶ。
説明
プライムという言葉がつくだけあって、極めて重要なフィールドだ。
1‘と2‘の逆を考えると、これらの素体と同型になるような部分体がなければ$F$は体ではなくなる。したがって、体であるかどうかを判断するのに役立つことができ、特に私たちにとって親しいという利点がある。
標数はニルラジカルと少し混同するかもしれないが、それぞれ加算$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} r = nr = 0$と乗算$\displaystyle \prod_{i=1}^{n} a = a^{n} = 0$に関する概念と考えればいい。また、標数は条件を満たす最小の$n$に関心があり、ニルラジカルは条件を満たす$a$に関心がある。
Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p250. ↩︎