📂抽象代数

メインイデアル

定義 ¹

単位元を持つ可換環 $R$ の元 $a$ によって生成される $\left< a \right>$ を、$a$ によって生成される主イデアル^{principal Ideal}という。

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• 乗算に対する単位元 $1$ を単位元という。

説明

$\left< a \right> := \left\{ r a \mid r\ \in R \right\}$ の記法は巡回群と似ているが、実際には少し大きな構造を形成する。

例えば、$\mathbb{Z}$ の全てのイデアル $n \mathbb{Z} = \left< n \right> = \left\{ \cdots , -2n , -n , 0 , n , 2n , \cdots \right\}$ は主イデアルである。

主イデアルに初めて接する時、つかみどころがなく、直ちには役に立たないように思えるかもしれないが、さまざまな良い性質を持つ整域を議論する際に有用である。次の定理の中でも特に[2]と[3]はそれぞれPIDとUFDへの橋渡しとなるので、少なくとも一度は手で証明してみることを推奨する。

定理

体 $F$ について、$p(x), r(x), s(x) \in F [ x ]$ としよう。

1. $F [ x ]$ の全てのイデアルは主イデアルである。
2. $\left< p(x) \right> \ne \left\{ 0 \right\}$ が極大イデアル $\iff$ $p(x)$ の場合、$p(x)$ は$F$ 上の既約元である。
3. $F$ 上の既約元 $p(x)$ が $r(x) s(x)$ を割る場合、$p(x)$ は $r(x)$ または $s(x)$ を割る。

証明

[1]

$F [ x ]$ のイデアル $N \ne \left\{ 0 \right\}$ で最も次数が低い多項式 $g(x)$ を考えてみよう。

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場合 1. $\deg g = 0$

$g(x)$ は定数関数なので $g(x) \in F$ であり、$F$ を体と仮定しているので、$g(x)$ は$F$ の単元であり、同時に$F [ x ]$ の単元である。$g(x)$ が$F [ x ]$ の単元だから、$N = F [ x ] = \left< 1 \right>$であり、したがって、$N$ は主イデアルである。

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場合 2. $\deg g \ge 1$

任意の $f(x) \in N$ は、割り算の定理に従って $f(x) = g(x) q(x) + r(x)$ として表される。$N$ はイデアルであるため、 $$f(x) - g(x) q(x) = r(x) \in N$$ であるが、最も次数が低い多項式は $g(x)$ であるから、$r(x)=0$ でなければならない。

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つまり、任意の $f(x) \in N$ は常に $f(x) = g(x) q(x)$ として表すことができ、したがって、$N = \left< g(x) \right>$ が真であり、$N$ は主イデアルである。

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[2]

$( \implies )$

$p(x)$ が既約元ではなく、$p(x) = f(x) g(x)$ のように因数分解されると仮定しよう。

$\left< p(x) \right>$ が$F [ x ]$ の極大イデアルであるため、$\left< p(x) \right> \ne F [ x ]$ そして$p(x) \notin F$ である。極大イデアルは素イデアルであるため、$\left( f(x) g(x) \right) \in \left< p(x) \right>$ の場合、$f(x) \in \left< p(x) \right>$ または $g(x) \in \left< p(x) \right>$ でなければならない。しかし、$f(x)$ と $g(x)$ の次数は$p(x)$ の次数以下にはならないので、仮定に反する。従って、$p(x)$ は$F$ 上の既約元である。

$( \impliedby )$

$\left< p(x) \right>$ が極大イデアルでなく、$\left< p(x) \right> \subsetneq N \subsetneq F [ x ]$ を満たすイデアル$N$ が存在すると仮定しよう。

定理 [1]により、$N$ は $F [ x ]$ の主イデアルであるため、ある $g(x) \in F [ x ]$ に対して、$N := \left< g(x) \right>$ と置くことができる。仮定から$\left< p(x) \right> \subset N$ なので、ある$q(x) \in F [ x ]$ に対して $$p(x) = g(x) q(x)$$ と表される。しかし、$p(x)$ は$F$ 上の既約元であるため、$g(x)$ または $q(x)$ のいずれかは定数でなければならない。

• もし $g(x)$ が定数なら、$g(x)$ は$F [ x ]$ の単元であるため、$N = F [ x ]$
• もし $q(x)$ が定数なら、ある$c \in F [ x ]$ に対して、$\displaystyle g(x) = {{1} \over {c}} p(x)$ であるので、 $$N = \left< g(x) \right> = \left< p(x) \right>$$

$g(x)$ が定数であろうと $q(x)$ が定数であろうと、仮定に反するので、$\left< p(x) \right>$ は$F [ x ]$ の主イデアルである。

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[3]

$p(x)$ が $r(x) s(x)$ を割るとする、$r(x) s(x) \in \left< p(x) \right>$。しかし、$p(x)$ が$F$ 上の既約元であるため、定理 [2]により、$\left< p(x) \right>$ は極大イデアルであり、それゆえに素イデアルである。

つまり、$r(x) s(x) \in \left< p(x) \right>$ の場合、$r(x) \in \left< p(x) \right>$ または $s(x) \in \left< p(x) \right>$ であり、これは$p(x)$ が $r(x)$ または $s(x)$ を割ることを意味する。

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