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第一種チェビシェフ多項式

定義 ¹

$T_{n} (x) = \cos \left( n \cos^{-1} x \right)$ を第1種チェビシェフ多項式という。

基本性質

再帰公式

• [0]: $$T_{n+1} (x) = 2x T_{n} (x) - T_{n-1} (X)$$

直交集合

• [1] 関数の内積: 重み$w$ を$\displaystyle w(x) := {{1} \over { \sqrt{1 - x^2} }}$ のように与えると、$\left\{ T_{0} , T_{1}, T_{2}, \cdots \right\}$ は直交集合になる。

チェビシェフ・ノード

• [2]: $T_{n} (x)$ の根は、$k=1, \cdots , n$ に対して以下のようなチェビシェフ・ノードだ。 $$x_{k} = \cos \left( {{2k-1} \over {2n}} \pi \right)$$

奇関数と偶関数

• [3]:

$$T_{n} (-x) = (-1)^{n} T_{n} (x)$$

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• 通常、$0 \le \theta \le \pi$ に対して、$\theta := \cos^{-1} x$ とする。

参照

• 第1種チェビシェフ多項式
• 第2種チェビシェフ多項式
• 第1種と第2種チェビシェフ多項式の関係
• チェビシェフ微分方程式の解としてのチェビシェフ多項式

説明

$n = 0, \cdots , 3$ に対する第1種チェビシェフ多項式は、次のように表される。

$$\begin{align*} T_{0} (x) =& 1 \\ T_{1} (x) =& x \\ T_{2} (x) =& 2x^{2} - 1 \\ T_{3} (x) =& 4x^{3} - 3x \end{align*}$$

第1種チェビシェフ多項式は、数値解析だけでなく、応用数学全般で非常に役立つ関数であり、第2種チェビシェフ多項式と合わせて、興味深い性質を豊富に持つ。

一方、第1種チェビシェフ多項式は、逆に$T_{0} (x) = 1$、$T_{1} (x) = x$ そして再帰式 [0] を使って定義することもできる。これは第2種チェビシェフ多項式も同様であり、第1種と第2種を呼ぶ理由は、$T_{1} (x) = 1 \cdot x$ と $U_{1} (x) = 2 \cdot x$ のためと考えても良い。

証明

[0]

$T_{n} (x) = \cos \left( n \theta \right)$ であるから、三角関数の加法定理により $$T_{n \pm 1} (x) = \cos (n \pm 1) \theta = \cos (n \theta ) \cos \theta \mp \sin ( n \theta ) \sin \theta$$ 両辺を足すと $$T_{n+1} (x) + T_{n-1} (x) = 2 \cos (n \theta ) \cos \theta = 2 T_{n} (x) x$$ $T_{n-1} (x)$ を整理すると $$T_{n+1} (x) = 2x T_{n} (x) - T_{n-1} (x)$$

■

[1]

$dx = - \sin \theta d \theta = - \sqrt{1 - x^2} d \theta$ であるから $$\begin{align*} \displaystyle \left< T_{n}, T_{m} \right> =& \int_{-1}^{1} T_{n} (x) T_{m} (x) {{1} \over { \sqrt{1 - x^2} }} dx \\ =& - \int_{\pi}^{0} \cos n \theta \cos m \theta d \theta \\ =& \int_{0}^{\pi} \cos n \theta \cos m \theta d \theta \\ =& \begin{cases} \pi/2 &, n=m \\ 0 &, n \ne m \end{cases} \end{align*}$$ 従って、$\left\{ T_{0} , T_{1}, T_{2}, \cdots \right\}$ は直交集合である。

■

[2]

定義より自明である。

■

[3]

ケース 1. $n=0,1$

$$T_{0} (-x) = 1 = T_{0} (x)$$

$$T_{1} (-x) = (-x) = -x = - T_{1} (x)$$

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ケース 2. $n \ge 2$ が偶数

$T_{n}(x)$ の、係数 $0$ 以外の全ての項が偶数次であるから、$T_{n}(-x) = T_{n}(x)$

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ケース 3. $n \ge 2$ が奇数

$T_{n}(x)$ の、係数 $0$ 以外の全ての項が奇数次であるから、$T_{n}(-x) = - T_{n}(x)$

■

実装

以下は、Rで書かれたチェビシェフ多項式のコードだ。

多項式自体が返されるので、直接計算に使うことができる。nは次数、kindで種類を指定し、printオプションをtrueにすると、係数が出力される。

出力される係数は、定数項から高次項順に出力され、第1種チェビシェフ多項式が$T_{3} (x) = 4x^{3} - 3x$ であるため、正しく得られたことがわかる。関数値も$T_{3} (3) = 4 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 = 108-9 = 99$ で正確に計算された。

Chebyshev<-function(n,kind=1,print=F)
{
  p<-NA
  
  if((round(n)-n)!=0 | n<0) {stop("Wrong Degree!!")} #degree must be nonnegative integer
  if(!kind%in%(1:2)) {stop("Wrong Kind!!")} #kind must be 1 or 2
  
  if(n==0)
  {
    if(print) {print(1)}
    
    p<-function(x) {return(1)}
    return(p)
  }
  
  if(n==1)
  {
    if(print) {print(c(0,kind))}
    
    p<-function(x) {return(kind*x)}
    return(p)
  }
 
  coef0<-c(1)
  coef1<-c(0,kind)
  
  for(i in 1:(n-1))
  {
    coef2<- ( c(0,2*coef1) - c(coef0,0,0) )
    coef0<-coef1
    coef1<-coef2
  }
  
  if(print) {print(coef2)}
  
  p<-function(x)  {return(sum(coef2*x^(0:n)))}
  return(p)
}
 
p<-Chebyshev(1,1); p(2)
p<-Chebyshev(3,1,T); p(3)