📂ヒルベルト空間

関数解析学におけるヒルベルト空間

定義¹

完備 内積空間をヒルベルト空間^{hilbert space}と言う。ヒルベルトの名前から、主に$H$と表記される。

説明

完備空間とは、すべてのコーシー数列が収束する空間のことだ。バナッハ空間も完備空間なので、内積が定義されたバナッハ空間としてヒルベルト空間を説明することもできる。例えば、以下のような空間がある。

• ルベーグ空間 $L^{2}$
• $\ell^{2}$ 空間
• 実数空間 $\mathbb{R}^{n}$
• 複素数空間 $\mathbb{C}^{n}$

性質

• ヒルベルト空間は一様に凸である
• 最短ベクトル定理
• 直交分解定理
• リース表現定理