📂微分方程式

周期関数のラプラス変換

公式

$f$を周期が$T$の周期関数としよう。すると$f(t+T)=f(t)$であり、$f(t)$のラプラス変換は以下のようになる。

$$\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt = \frac{\displaystyle \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{-st}}$$

導出

ラプラス変換の定義から、次のように積分を分けよう。

$$\int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt = \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + \int_{T}^{2T} e^{-st}f(t)dt + \int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt + \cdots$$

この時、2番目の項の積分範囲を1番目の項と同じにするために、$t=t^{\prime}+T$で置換しよう。すると

$$\int_{T}^{2T} e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^T e^{-s(t^{\prime}+T)}f(t^{\prime}+T)dt^{\prime}$$

$f$は周期が$T$の周期関数であるから$f(t^{\prime}+T)=f(t^{\prime})$であり、定数を前に出すと以下のように整理される。

$$e^{-sT}\int_{0}^T e^{-st^{\prime}}f(t^{\prime})dt^{\prime}=e^{-sT}\int_{0}^T e^{-st}f(t)dt$$

3番目の項もその後も$t=t^{\prime}+2T, t=t^{\prime}+3T, \cdots$のように置換すると同じ方法で整理できる。そうすると、$f(t)$のラプラス変換は以下の形で表せる。

$$\begin{align*} & \int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt \\ &= \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + e^{-sT}\int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + e^{-2sT}\int_{0}^T e^{-st}f(t)dt + \cdots \\ &= \left( 1+e^{-sT} + e^{-2sT} + \cdots \right) \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt \end{align*}$$

無限等比級数

$|r|<1$の時、

$$\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = { a \over {1-r}}$$

前にまとめた項を無限等比級数の公式で表すと以下のようになる。

$$\frac{1}{1-e^{-sT}}$$

したがって、以下を得る。

$$\int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt = \dfrac{\displaystyle \int_{0}^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{-sT}}$$

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参考

• ラプラス変換表