トランスクリティカル分岐
定義 1 2
トランスクリティカルバイファーケーションtranscritical bifurcationは、力学系のパラメータ変化に伴い、2つの不動点が安定性を交換するバイファーケーションである。
ノーマルフォーム
トランスクリティカルバイファーケーションのノーマルフォームは、次のようになる: $$ \dot{x} = rx - x^{2} $$
ダイアグラム
トランスクリティカルバイファーケーションのバイファーケーションダイアグラムは、次のようになる:
説明
トランスクリティカルバイファーケーションのノーマルフォームは、$r$ とは関係なく、2つの不動点 $x_{1} = 0$ と $x_{2} = r$ を持つ。2つの不動点が安定性を交換するということは、文字通り、$r = 0$ を臨界点として、2つの不動点 $x_{1} = 0$ と $x_{2} = r$ の安定性が反転するということである。
- $r < 0$: $x_{1} = 0$ は安定であり、$x_{2} = r$ は不安定である。
- $r = 0$: 2つの不動点が一つに合体し、サドルノードになる。$\dot{x} = -x^{2}$ では $x$ が何であれ常に負であるため、$x > 0$ では $x_{1} = 0$ に収束し、$x < 0$ では $x_{1} = 0$ から負の方向に発散する。
- $r > 0$: $x_{1} = 0$ は不安定であり、$x_{2} = r$ は安定である。