📂微分方程式

f(ct)のラプラス変換

公式¹

関数 $f(t)$のラプラス変換 $\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \displaystyle \int _{0} ^\infty e^{-st}f(t)dt = F(s)$が $s>a \ge 0$であると仮定する。すると、$c >0$に対して $f(ct)$のラプラス変換は次の通りである。

$$ \mathcal{L} \left\{ f(ct) \right\} =\dfrac{1}{c}F\left(\dfrac{s}{c}\right), \quad s>ca $$

導出

$$ \mathcal{L} \left\{ f(ct) \right\} = \int _{0} ^\infty e^{-st}f(ct)dt $$

ここで$ct=\tau$と置換する。すると、$st=\dfrac{s}{c}\tau$、$dt=\dfrac{1}{c}d\tau$であるから、

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f(\tau) \right\} &= \int _{0} ^{\infty} e^{-\frac{s}{c}\tau}f(\tau)\dfrac{1}{c}d\tau \\ &= \dfrac{1}{c} \int _{0} ^{\infty} e^{-\frac{s}{c}\tau}f(\tau)d\tau \\ &= \dfrac{1}{c}F\left(\dfrac{s}{c}\right) \end{align*} $$

最後の等式は仮定により成り立つ。また、仮定により$s >ca$の時、$f(ct)$のラプラス変換が存在する。

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例

1

$\mathcal{L} \left\{ \sin t \right\}=\dfrac{1}{s^2+1}$であるから

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \sin (at) \right\} &= \dfrac{1}{a}\dfrac{1}{{(\frac{s}{a})}^2+1} \\ &= \dfrac{1}{a}\dfrac{a^2}{s^2+a^2} \\ &= \dfrac{a}{s^2+a^2} \end{align*} $$

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2

$\mathcal{L} \left\{ \cos t \right\}=\dfrac{s}{s^2+1}$であるから

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \cos (at) \right\} &= \dfrac{1}{a}\dfrac{s/a}{{(\frac{s}{a})}^2+1} \\ &= \dfrac{1}{a}\dfrac{sa}{s^2+a^2} \\ &= \dfrac{s}{s^2+a^2} \end{align*}
$$

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参照

• ラプラス変換表