📂微分方程式

ラプラス変換の平行移動

公式¹

関数 $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)=\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}$ が $s>a$ として存在するとする。すると、定数 $c$ に対して次が成立する。

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ e^{ct}f(t) \right\}&=F(s-c), &s>a+c \\ \mathcal{L^{-1}} \left\{ F(s-c) \right\}&=e^{ct}f(t) & \end{align*}$$

説明

$f$ に指数関数をかけることと、$F$ を平行移動することが同じという意味だ。

導出

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ e^{ct}f(t) \right\} &=\int_{0}^\infty e^{-st}e^{ct}f(t)dt \\ &= \int_{0}^\infty e^{-(s-c)t}f(t)dt \\ &= F(s-c) \end{align*}$$

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結論

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ e^{ct} t^p \right\} &=\dfrac{\Gamma (p+1)}{(s-c)^{p+1}} \\ \mathcal{L} \left\{ e^{ct} \sin (at) \right\} &=\dfrac{a}{(s-c)^2+a^2} \\ \mathcal{L} \left\{ e^{ct} \cos (at) \right\} &= \dfrac{s-c}{(s-c)^2+a^2} \\ \mathcal{L} \left\{ e^{ct} \sinh (at) \right\} &= \dfrac{a}{(s-c)^2-a^2} \\ \mathcal{L} \left\{ e^{ct} \cosh (at) \right\} &= \dfrac{s-c}{(s-c)^2-a^2} \end{align*}$$

参照

• ラプラス変換表