📂微分方程式

ラプラス変換を用いた2次線形非同次微分方程式の解法

定理¹

$$ ay^{\prime \prime} + by^{\prime} + cy = g(t) $$

このような二次線形非同次微分方程式が与えられたとする。そして、$\mathcal{L} \left\{ y \right\} =Y(s)$、$\mathcal{L} \left\{ g(t) \right\}=G(s)$だという。そうすると、

$$ Y(s) = \dfrac{ (as + b)y(0) + ay^{\prime}(0) } {as^2+bs+c} + \dfrac{G(s) }{as^2+bs+c} $$

説明

上記の公式は、規則をよく覚えておけば、覚えやすい。規則に従って覚えれば、3次、4次の場合を含む一般的な公式も簡単に覚えられる。上記の結果は、n次導関数のラプラス変換の結果を知っていれば、簡単に導き出せる。初期条件$y(0)$と$y^{\prime}(0)$を知っていれば、正確な解を求めることができる。また、n次導関数のラプラス変換を利用すれば、3次、4次微分方程式の解法も可能である。

証明

与えられた微分方程式$ay^{\prime \prime} + by^{\prime} + cy = g(t)$の両辺にラプラス変換を行い、$Y(s)$について整理するだけである。

導関数のラプラス変換

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\} &= s\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -f^{\prime}(0) \\ \mathcal{L} \left\{ f^{\prime \prime}(t) \right\} &= s^2\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -sf(0) -f^{\prime}(0) \end{align*} $$

$$ \begin{align*} && a\left[ s^2Y(s) -sy(0) -y^{\prime}(0) \right] +b\left[ sY(s) -y(0) \right] +cY(s) = G(s) \\ \implies && (as^2+bs+c)Y(s) - (as+b)y(0) -ay^{\prime}(0) = G(s) \\ \implies && (as^2+bs+c)Y(s) = (as+b)y(0) + ay^{\prime}(0) + G(s) \\ \implies && Y(s) =\dfrac{(as+b)y(0) +ay^{\prime}(0)}{as^2+bs+c} + \dfrac{G(s)}{as^2+bs+c} \end{align*} $$

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例

1

以下のように与えられた初期値問題を解く。

$$ y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2y=0,\quad y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0 $$

各定数および初期条件を公式に代入すると、

$$ \begin{align*} Y(s) &= \dfrac{s-1}{s^2-s-2} \\ &=\dfrac{s-1}{(s-2)(s+1)} \\ &= \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{s-2} + \dfrac{2}{3}\dfrac{1}{s+1} \end{align*} $$

$\mathcal{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s-a} \right\}=e^{at}$であるため、

$$ y(t)=\dfrac{1}{3}e^{2t} + \dfrac{2}{3}e^{-t} $$

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2

以下のような初期値問題を解け。

$$ y^{\prime \prime}+y=\sin (2t),\quad y(0)=2,\quad y^{\prime}(0)=1 $$

各定数および初期条件を公式に代入すると、

$$ \begin{align*} Y(s)&=\dfrac{2s+1}{s^2+1} + \dfrac{1}{s^2+1}\dfrac{2}{s^2+2^2} \\ &=2\dfrac{s}{s^2+1}+\dfrac{1}{s^2+1}+\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{s^2+1}-\dfrac{1}{3}\dfrac{2}{s^2+2^2} \\ &= 2\dfrac{s}{s^2+1}+\dfrac{5}{3}\dfrac{1}{s^2+1}-\dfrac{1}{3}\dfrac{2}{s^2+2^2} \end{align*} $$

$\mathcal{L^{-1}} \left\{ \dfrac{s}{s^2+a^2} \right\}=\cos (at)$、$\mathcal{L^{-1}} \left\{ \dfrac{a}{s^2+a^2} \right\}=\sin (at)$であるため、

$$ y(t)=2\cos t + \dfrac{5}{3}\sin t -\dfrac{1}{3}\sin (2t) $$

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