logo

一階導関数のラプラス変換 📂微分方程式

一階導関数のラプラス変換

定理1

次の二つの条件を仮定しよう。

  1. 任意の区間 0≤t≤A0 \le t \le Aで関数 f(t)f(t)が連続であり、1次導関数 f′(t)f^{\prime}(t)が部分的に連続であるとする。
  2. t≥Mt \ge Mのとき ∣f(t)∣≤Keat|f(t)| \le Ke^{at}を満たす実数 aaと正の数 KK、MMが存在する。

それならば、ffの1次導関数のラプラス変換 L{f′(t)}\mathcal{L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\}が s>as>aのときに存在し、その値は以下の通りである。

L{f′(t)}=sL{f(t)}−f(0) \mathcal {L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\} = s\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -f(0)

説明

条件を簡単に言い換えると、「f(t)f(t)のラプラス変換が存在し、f′(t)f^{\prime}(t)が部分的に連続である」となる。

証明

lim⁡A→∞∫0Ae−stf′(t)dt\displaystyle \lim_{A \to \infty} \int _{0} ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dtが収束すれば、証明完了である。f′f^{\prime}が区間で部分的に連続であるとしたので、kk個の不連続点があるとしよう。そして、各不連続点をt1t_{1}、t2t_2、⋯\cdots、tkt_{k}としよう。積分を不連続点を基準に分けると以下のようになる。

∫0Ae−stf′(t)dt=∫0t1e−stf′(t)dt+∫t1t2e−stf′(t)dt+⋯+∫tkAe−stf′(t)dt \int _{0} ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt = \int _{0} ^{t_{1}} e^{-st}f^{\prime}(t)dt + \int _{t_{1}} ^{t_2} e^{-st}f^{\prime}(t)dt + \cdots + \int _{t_{k}} ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt

今、各項を部分積分しよう。定積分項と積分項を別々に整理すると次のようになる。

∫0Ae−stf′(t)dt=[e−stf(t)]0t1+[e−stf(t)]t1t2+⋯+[e−stf(t)]tkA+s[∫0t1e−stf(t)dt+∫t1t2e−stf(t)dt+⋯+∫tkAe−stf(t)dt] \begin{align*} \int_{0}^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt &= \left[ e^{-st}f(t)\right]_{0}^{t_{1}} + \left[ e^{-st}f(t)\right]_{t_{1}}^{t_2} + \cdots + \left[ e^{-st}f(t)\right]_{t_{k}}^{A} \\ &\quad +s \left[ \int _{0} ^{t_{1}} e^{-st}f(t)dt + \int _{t_{1}} ^{t_2} e^{-st}f(t)dt + \cdots + \int _{t_{k}} ^A e^{-st}f(t)dt \right] \end{align*}

定積分項を計算し、積分項を合わせると次のようになる。

[e−st1f(t1)−e−s0f(0)]+[e−st2f(t2)−e−st1f(t1)]+⋯+[e−sAf(A)−e−stkf(tk)]+s∫0Ae−stf(t)dt=e−sAf(A)−e−s0f(0)+s∫0Ae−stf(t)dt \begin{align*} &\left[ e^{-st_{1}}f(t_{1}) - e^{-s0}f(0) \right] + \left[ e^{-st_2}f(t_2) - e^{-st_{1}}f(t_{1}) \right] + \cdots + \left[ e^{-sA}f(A) - e^{-st_{k}}f(t_{k}) \right] + s \int _{0} ^{A} e^{-st}f(t)dt \\ &= e^{-sA}f(A) - e^{-s0}f(0) + s \int _{0} ^{A} e^{-st}f(t)dt \end{align*}

仮定により、f(t)f(t)のラプラス変換が存在するので、

∫0Ae−stf′(t)dt=e−sAf(A)−f(0)+sL{f(t)} \int _{0} ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt = e^{-sA}f(A) - f(0) + s \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}

今、lim⁡A→∞e−sAf(A)\displaystyle \lim_{A \to \infty} e^{-sA}f(A)が収束するか確かめれば、f′(t)f^{\prime}(t)のラプラス変換が存在することが示される。**仮定2.**により、∣f(A)∣≤KeaA|f(A)| \le Ke^{aA}である。 両辺にe−sAe^{-sA}を掛ければ、

∣e−sAf(A)∣≤Ke−(s−a)A |e^{-sA}f(A)| \le Ke^{-(s-a)A}

再び両辺に極限lim⁡A→∞\lim \limits_{A \to \infty}をとるとs>as>aの時、右辺は00に収束する。従って、左辺も00に収束する。すなわち、

∫0∞e−stf′(t)dt=lim⁡A→∞∫0Ae−stf′(t)dt=lim⁡A→∞e−sAf(A)−f(0)+sL{f(t)}=sL{f(t)}−f(0)=sF(s)−f(0) \begin{align*} \int_{0}^\infty e^{-st}f^{\prime}(t)dt &= \lim_{A \to \infty} \int _{0} ^A e^{-st}f^{\prime}(t)dt \\ &= \lim_{A \to \infty} e^{-sA}f(A) - f(0) + s \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} \\ &= s \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -f(0) \\ &= s F(s) -f(0) \end{align*}

■

参照

  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p248-249 ↩︎