ステップ関数のラプラス変換
📂微分方程式ステップ関数のラプラス変換
定義
単位階段関数をcだけ平行移動したものを以下のように表そう。
uc(t)={01t<ct≥c

公式
階段関数uc(t)のラプラス変換は次の通り。
L{uc(t)}=se−cs,s>0
cを任意の定数とし、s>a≥0の時、f(t)のラプラス変換F(s)が存在するとする、すなわちF(s)=L{f(t)}とする。そうすると、fとucの積のラプラス変換は以下の通り。
L{uc(t)f(t−c)}=e−csF(s)
説明
扱う変数tは時間であるため、t>0となり、これは特に言及しなくても自明のこととしよう。uc(t)のような関数は、電気回路でスイッチをオンにしたりオフにしたりする時に、特定の時間後に突然発生したり消えたりする値を描写するのに役立つ。

導出
(1)
L{uc(t)}=∫0∞e−stuc(t)dt=∫0ce−st⋅0dt+∫c∞e−st⋅1dt=A→∞lim−s1[e−st]cA=se−cs
この時、A→∞lime−sA=0である必要があるので、s>0となる。
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(2)
L{uc(t)f(t−c)}=∫0∞e−stuc(t)f(t−c)dt=∫c∞e−stf(t−c)dt
ここで、t−c=τと置換えよう。すると、0≤τ≤∞であり、dt=dτとなる。従って、
∫0∞e−s(τ+c)f(τ)dτ=e−cs∫0∞e−sτf(τ)dτ=e−csF(s)
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例
f(t)=sint+uπ/4(t)cos(t−4π)としよう。
L{f(t)}=L{sint}+L{uπ/4cos(t−4π)}=L{sint}+e−4πsL{cost}=s2+11+e−4πss2+1s=s2+11+se−4πs
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参照