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ステップ関数のラプラス変換 📂微分方程式

ステップ関数のラプラス変換

定義1

単位階段関数ccだけ平行移動したものを以下のように表そう。

uc(t)={0t<c1tc u_{c}(t)=\begin{cases} 0 & t<c \\ 1 & t \ge c \end{cases}

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公式

階段関数uc(t)u_{c}(t)のラプラス変換は次の通り。

L{uc(t)}=ecss,s>0 \begin{equation} \mathcal{L} \left\{ u_{c}(t) \right\} = \dfrac{e^{-cs}}{s},\quad s>0 \label{eq1} \end{equation}

ccを任意の定数とし、s>a0s > a \ge 0の時、f(t)f(t)のラプラス変換F(s)F(s)が存在するとする、すなわちF(s)=L{f(t)}F(s)=\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}とする。そうすると、ffucu_{c}の積のラプラス変換は以下の通り。

L{uc(t)f(tc)}=ecsF(s) \begin{equation} \mathcal {L} \left\{ u_{c}(t) f(t-c) \right\} = e^{-cs} F(s) \label{eq2} \end{equation}

説明

扱う変数ttは時間であるため、t>0t>0となり、これは特に言及しなくても自明のこととしよう。uc(t)u_{c}(t)のような関数は、電気回路でスイッチをオンにしたりオフにしたりする時に、特定の時間後に突然発生したり消えたりする値を描写するのに役立つ。

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導出

(1)

L{uc(t)}=0estuc(t)dt=0cest0dt+cest1dt=limA1s[est]cA=ecss \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ u_{c}(t) \right\} &= \int_{0}^\infty e^{-st}u_{c}(t)dt \\ &=\int_{0}^c e^{-st}\cdot 0 dt + \int_{c}^\infty e^{-st}\cdot 1 dt \\ &= \lim _{A \to \infty} -\dfrac{1}{s} \left[ e^{-st} \right]_{c}^A \\ &= \dfrac{e^{-cs}}{s} \end{align*}

この時、limAesA=0\lim \limits_{A \to \infty } e^{-sA}=0である必要があるので、s>0s>0となる。

(2)

L{uc(t)f(tc)}=0estuc(t)f(tc)dt=cestf(tc)dt \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ u_{c}(t) f(t-c) \right\} &= \int_{0} ^\infty e^{-st}u_{c}(t) f(t-c)dt \\ &= \int_{c}^\infty e^{-st} f(t-c) dt \end{align*}

ここで、tc=τt-c=\tauと置換えよう。すると、0τ0 \le \tau \le \inftyであり、dt=dτdt=d\tauとなる。従って、

0es(τ+c)f(τ)dτ=ecs0esτf(τ)dτ=ecsF(s) \begin{align*} \int _{0} ^\infty e^{-s(\tau+c)}f(\tau)d\tau &= e^{-cs}\int_{0}^\infty e^{-s\tau}f(\tau)d\tau \\ &= e^{-cs}F(s) \end{align*}

f(t)=sint+uπ/4(t)cos(tπ4)f(t)=\sin t + u_{\pi /4} (t) \cos (t-\frac{\pi}{4})としよう。

L{f(t)}=L{sint}+L{uπ/4cos(tπ4)}=L{sint}+eπ4sL{cost}=1s2+1+eπ4sss2+1=1+seπ4ss2+1 \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} &= \mathcal{L} \left\{ \sin t \right\} + \mathcal{L} \left\{ u_{\pi /4} \cos (t-\frac{\pi}{4}) \right\} \\ &=\mathcal{L} \left\{ \sin t \right\} + e^{-\frac{\pi }{ 4 }s} \mathcal{L} \left\{ \cos t \right\} \\ &=\dfrac{1}{s^2+1} + e^{ -\frac{\pi}{4}s}\dfrac{s}{s^2+1} \\ &=\dfrac{ 1+ se^{ -\frac{\pi}{4}s}}{s^2+1} \end{align*}

参照


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p257-260 ↩︎