📂数値解析

一貫性を持つマルチステップ法の収束性とルート条件

定理

もしマルチステップメソッドが一貫性を持つならば、メソッドは収束性を持つ $\iff$ メソッドはルート条件を満たす

説明

閉区間 $[x_{0} , b]$ に対して $h$ を単位として分割してノードポイントを作るとき、$x_{0} \le x_{1} \le \cdots \le x_{N(h) -1} \le x_{N(h) } \le b$ としよう。ここで $N(h)$ は $h$ に応じて変わる最後のノードポイントのインデックスを表す。

メソッドが収束性を持つ とは、$h \to 0$ のとき $\displaystyle \eta (h) : = \max_{0 \le n \le p} | Y_{n} - y_{ n} | \to 0$ ならば、$h \to 0$ のとき $\displaystyle \max_{x_{0} \le x_{n} \le b } | Y_{n} - y_{ n} | \to 0$ ということだ。

証明 ¹

一貫性を持つマルチステップメソッド: 初期値問題 $\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ ( y( x_{0} ) , \cdots , y(x_{p}) ) = (Y_{0}, \cdots , Y_{p} ) \end{cases}$ に対してマルチステップメソッド $$y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} )$$ は次を満たす。 $$\begin{cases} \displaystyle \sum_{j = 0}^{p} a_{j} = 1 \\ \displaystyle - \sum_{j = 0}^{p} j a_{j} + \sum_{j = -1}^{p} b_{j} = 1 \end{cases}$$

ルート条件: 一貫性を持つマルチステップメソッドに対して $\displaystyle \rho ( r) = r^{p+1} - \sum_{j=0}^{p} a_{j} r^{p-j}$ としよう。方程式 $\rho (r ) = 0$ の根 $r_{0} , \cdots , r_{p}$ が次の条件を満たすとき、与えられたマルチステップメソッドはルート条件^{root condition}を満たすと言われる。

• (i): $| r_{j} | \le 1$
• (ii): $|r_{j}| = 1 \implies \rho ‘(r_{j}) \ne 0$

---

$(\Rightarrow)$

メソッドが収束性を持ちながらルート条件を満たさないと仮定しよう。この仮定に反する初期値問題 $\begin{cases} y ' = 0 \\ y(0) = 0 \end{cases}$ の反例を示すことになる。

与えられた問題の真のソリューションは自明にも全ての $n \ge 0$ に対して $Y_{n} = 0$ だ。

そして $f = 0$ であるから数値ソリューションは $\displaystyle y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n - j}$ だ。その中でも $y_{0} , \cdots , y_{p}$ が $h \to 0$ のとき $$\eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | Y_{n} - y_{ n} | = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | \to 0$$ を満たすとしよう。何らかの $0 \le j \le p$ に対して以下の二つのケースを考えよう。

• ケース 1.
  (i)を満たさないため、$j$ に対して $|r_{j}| > 1$ の場合、$\displaystyle y_n = h r_{j} ^n$ は $h \to 0$ のとき $$\eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | = h \left| r_{j} \right| ^{p} \to 0$$ を満たす。しかし $h \to 0$ のとき $N(h) \to \infty$ だから $$\max_{x_{0} \le x_{n} \le b} | Y_{n} - y_{ n} | = h \left| r_{j} \right| ^{N (h) } \to \infty$$ メソッドは収束性を持たない。
• ケース 2.
  (ii)を満たさないため、$j$ に対して $|r_{j}| = 1 \implies \rho’(r_{j}) = 0$ の場合、これは $|r_{j}| = 1$ であれば $r_{j}$ が特性方程式の重根という意味で、少なくとも一つの重根 $r_{j}$ が存在する。だから特殊ソリューション $n r_{j}^{n}$ が存在して $\displaystyle y_n = h n r_{j} ^n$ は $h \to 0$ のとき $$\eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | = h p \left| r_{j} \right| ^{p} \to 0$$ を満たし、$\displaystyle y_n = h \left[ r_{j} (0) \right]^n$ は $h \to 0$ のとき $$\eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | = h \left| r_{j} (0) \right| ^{p} \to 0$$ を満たす。しかし $h \to 0$ のとき $$\max_{x_{0} \le x_{n} \le b} | Y_{n} - y_{ n} | = h \left| r_{j} (0) \right| ^{N (h) } \to \infty$$ メソッドは収束性を持たない。

---

$(\Leftarrow)$ 元の証明が過度に複雑で、多くの飛躍がある²。

$e_{n} : = Y_{n} -y_{n}$ だとすると、非同次線形微分方程式 $Y = y + e$ を解くことになる。

反対に $y = Y - e$ は同次線形微分方程式になる。 $$\begin{align} y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) \end{align}$$

$$\begin{align} Y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} Y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , Y_{n-j} ) \end{align}$$ $(1)$ から $(2)$ を引くと $$e_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} a_{j} e_{n-j} + h \sum_{j= -1}^{p} b_{j} \left[ f(x_{n-j} , Y_{n- j }) - f(x_{n-j} , y_{n- j }) \right]$$ が得られる。$Y_{n} = d_{0} s_{0}^{n} + d_{1} s_{1}^{n} + \cdots + d_{p} s_{p}^{n}$ とすると $$e_{n} = g_{0} ( r_{0} + s_{0} )^n + g_{1} ( r_{1} + s_{1} )^n + \cdots + g_{p} ( r_{p} + s_{p} )^n$$ 与えられたメソッドは $N \ge p$ のときにも $( r_{0} + s_{0} ) , \cdots , ( r_{p} + s_{p} )$ に対してルート条件を満たすので、 $$\begin{align*} | e_{N} | & =& | g_{0} | | r_{0} + s_{0} |^N + | g_{1} | | r_{1} + s_{1} | ^N + \cdots + | g_{p} | | r_{p} + s_{p} |^N \\ \le & \max_{0 \le n \le p} | Y_{ n} - y_{n} | \end{align*}$$ ここで $h \to 0$ のとき $\displaystyle \max_{0 \le n \le p} | Y_{ n} - y_{n} | \to 0$ と仮定すれば $e_{N} \to 0$ であるため、 $$\max_{x_{0} \le x_{n} \le b} | Y_{n} - y_{ n} | = h \left| r_{j} (0) \right| ^{N (h) } \to 0$$ 従って、メソッドは収束性を持つ。

■