📂線形代数

双対空間

双対空間

定義1¹

ベクトル空間 $X$ の全ての連続する線形汎関数の集合を $X^{ \ast }$ と標記し、これを $X$ の双対空間^{dual space}、簡単に $X$ のデュアルと呼び、以下のように表記する。

$$X^{ \ast }:=\left\{ x^{ \ast }:X\to \mathbb{C}\ |\ x^{ \ast } \text{ is continuous and linear} \right\}$$

$$X^{ \ast }:=B(X,\mathbb{C})$$

$B \left( X, \mathbb{C} \right)$ は、定義域が $X$ で値域が $\mathbb{C}$ の有界線形作用素の集合である。

定義2²

体 $F$ 上のベクトル空間 $X$ に対して、$X$ 上の線形汎関数の集合を $X$ の双対空間^{dual space}と呼び、$X^{\ast}$ と表記する。

$$X^{\ast} = L(X, F)$$

$L(X, F)$ は、$X$ から $F$ への全ての線形変換の集合である。

説明

• 線形作用素の性質により、連続という条件は有界という条件と同値である。
• 双対空間の記号として $\ast$ ではなく $^{\prime}$ も使われることがある。

双対空間の双対空間についても話すことができる。この場合は、$X^{\ast \ast}=\left( X^{ \ast } \right)^{ \ast }$ のように表記し、バイデュアル^bidual、ダブルデュアル^{double dual}、セカンドデュアル^{second dual}などと呼ばれる。

オペレーターのノルム $\displaystyle \| f \| = \sup_{\substack{x \in X \\ \| x \| =1}} | f(x) |$ について、$(X^{ \ast } , \| \cdot \| )$ は バナッハ空間となる。これに対して、次の定理が成立する。

定理

$X$ が有限次元 ベクトル空間である場合、次が成立する。

$$\dim X^{ \ast } = \dim X$$

証明

方法1¹

戦略: $\dim X$ の基底を使って、$\dim X^{ \ast }$ が有限次元になるような基底を作る。

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$\dim X = n$ とすると、$X$ は有限次元なので基底 $\left\{ \tilde{ e_{1} } , \cdots , \tilde{ e_{n} } \right\}$ を持つ.$\displaystyle e_{j} : = {{ \tilde{e_{j} } } \over { \| \tilde{ e_{j} } \| }} \in X$ とすると、$\| e_{j} \| = 1$ であり、$\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ は依然として $X$ の基底である。今、$e_{j}^{ \ast } : (X , \| \cdot \| ) \to ( \mathbb{C} , | \cdot | )$ を以下のように定義しよう。

$$e_{j}^{ \ast } (e_{i}) := \delta_{ij}$$

線形作用素の性質

$T : (X , \| \cdot \|_{X}) \to ( Y , \| \cdot \|_{Y} )$ が線形作用素だとしよう。$X$ が有限次元空間であれば、$T$ は連続である。

$\dim X = n$ と仮定したので、$e_{j}^{ \ast }$ は連続する線形汎関数である。

線形汎関数が線形独立組合せで表されるための必要十分条件

$f_{1} , \cdots , f_{n}$ が定義域が $X$ の線形汎関数だとしよう。

$f_{1} , \cdots , f_{n}$ が線形独立 $\iff$ $f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ を満たす $x_{1} , \cdots , x_{n}$ が存在する

上記の定理により、$\beta^{\ast} = \left\{ e_{1}^{\ast}, \dots, e_{n}^{\ast} \right\}$は線形独立である。$f \in X^{ \ast }$ を任意の $\displaystyle x = \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \in X$ に作用させると

$$f(x) = f\left( \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right) = \sum_{i=1}^{n} t_{i} f(e_{i} ) = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) t_{i}$$

$\displaystyle t_{i} = e_{i}^{ \ast } \left( \sum_{k=1}^{n} t_{k} e_{k} \right) = e_{i}^{ \ast } (x)$ であるから、

$$f(x) = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) e_{i}^{ \ast } (x) = \left[ \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) e_{i}^{ \ast } \right] (x)$$

従って、

$$f = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) e_{i}^{ \ast } \in \text{span} \left\{ e_{1}^{ \ast } , \cdots , e_{n}^{ \ast } \right\}$$

つまり、$\beta^{\ast} = \left\{ e_{1}^{ \ast } , \cdots , e_{n}^{ \ast } \right\}$ は線形独立であり、$X^{\ast}$ を生成するので、$X^{ \ast }$ の基底である。

$$\dim X^{ \ast } = n$$

■

方法2²

$\dim(L(X,F)) = \dim(X)\dim(F)$であるから、

$$\dim(X^{\ast}) = \dim(L(X,F)) = \dim(X)\dim(F) = \dim(X)$$

■

定理の証明はこれで終わりだが、$X^{\ast}$ の基底を具体的に見つけよう。$X$ の順序基底を $\beta = \left\{ x_{1}, \dots, x_{n} \right\}$ としよう。そして、$f_{i}$ を $i$ 番目の座標関数としよう。

$$f_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$$

すると、$f_{i}$ は $X$ 上で定義された線形汎関数である。今、$\beta^{\ast} = \left\{ f_{i}, \dots, f_{n} \right\}$ としよう。

Claim: $\beta^{\ast}$ は $X^{\ast}$ の（順序）基底である

$\dim (X^{\ast}) = n$ であることは既にわかっているので、$\span(\beta^{\ast}) = X^{\ast}$ を示せばいい。つまり、任意の $f \in X^{\ast}$ が $f_{i}$ の線形組合せで表されることを示さなければならない。与えられた $f$ に対して、$g = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})f_{i}$ とする。すると、実際にこの $g$ がまさに $f$ であり、$f$ が $f_{i}$ の線形組合せで表されることがわかる。$1 \le j \le n$ について、

$$g(x_{j}) = \left( \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})f_{i} \right) (x_{j}) = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})f_{i}(x_{j}) = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\delta_{ij} = f(x_{j})$$

よって、$g=f$ であり、$f = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})f_{i}$ である。したがって、$\beta^{\ast}$ は $X^{\ast}$ を生成する。

双対基底

上記の記法に従い、$X^{\ast}$ の順序基底 $\beta^{\ast} = \left\{ f_{1}, \dots, f_{n} \right\}$ を $\beta$ の双対基底^{dual basis}、相互基底^{reciprocal basis}と呼ぶ。

$$f_{i} : X \to \mathbb{F} \quad \text{ by } \quad f_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$$

この場合、$\delta_{ij}$ はクロネッカーデルタである。