📂微分方程式

双曲線関数のラプラス変換

公式¹

双曲線正弦関数と双曲線余弦関数のラプラス変換は以下の通りである。

$$ \mathcal{L} \left\{ \sinh (at) \right\} = \dfrac{a}{s^2-a^2},\quad s>|a| \\ \mathcal{L} \left\{ \cosh (at) \right\} = \dfrac{s}{s^2-a^2},\quad s>|a| $$

説明

双曲関数の定義は以下の通りである。

$$ \sinh (ax) = \dfrac{ e^{ax} - e^{-ax} }{ 2 } \\ \cosh (ax) = \dfrac{ e^{ax} + e^{-ax} }{ 2 } $$

導出

指数関数のラプラス変換の結果を利用する。

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$\sinh (at)$

$$ \begin{align*} \mathcal{ L } \left\{ \sinh (at) \right\} &= \int_{0}^\infty e^{-st} \sinh (at) dt \\ &= \int _{0} ^\infty e^{-st} \left( \dfrac{ e^{at} - e^{-at} }{ 2 } \right) dt \\ &= \dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-st}e^{at} dt -\dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-st}e^{-at} dt \\ &= \dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-(s-a)t} dt -\dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-(s+a)t} dt \\ &= \dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-(s-a)t} dt -\dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-(s+a)t} dt \\ &= \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{s-a} - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{s+a} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{s-a} -\dfrac{1}{s+a} \right) \\ &= \dfrac{1}{2}\dfrac{2a}{s^2-a^2} \\ &= \dfrac{a}{s^2-a^2} \end{align*} $$

だが、$\lim \limits_{A \to \infty} e^{-(s-a)A}$と$\lim \limits_{A \to \infty} e^{-(s+a)A}$が$0$に収束するためには、

$$ s>a \quad \text{and} \quad s>-a $$

結果として$s>|a|$という条件がつく。

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$\cosh (at)$

既に求めた$\sinh (at)$のラプラス変換結果を利用して求める。

$$ \begin{align*} &&\mathcal {L} \left\{ e^{at} \right\} &= \mathcal{ L} \left\{ \cosh (at) \right\} + \mathcal{L} \left\{ \sinh (at) \right\} \\ \implies&& \mathcal{L} \left\{ \cosh (at) \right\} &= \dfrac{1}{s-a} -\dfrac{a}{s^2-a^2} \\ && &=\dfrac{s+a}{s^2-a^2}-\dfrac{a}{s^2-a^2} \\ && &=\dfrac{s}{s^2-a^2},\quad s>|a| \end{align*} $$

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参照

• ラプラス変換表