📂微分方程式

ラプラス変換の線形性

定理¹

$f_{1}$と$f_2$をラプラス変換が存在する関数としよう。そして、$c_{1}, c_2$を任意の定数とする。そうすると

$$\mathcal{L} \left\{ c_{1}f_{1} + c_2f_2 \right\} = c_{1}\mathcal{L} \left\{f_{1} \right\} + c_2\mathcal{L} \left\{f_2 \right\}$$

説明

ラプラス変換が積分変換であることは明らかだ。

証明

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ c_{1}f_{1}+c_2f_2 \right\} &= \int_{0}^\infty e^{-st} \left( c_{1}f_{1}+c_2f_2 \right) dt \\ &= \int_{0}^\infty e^{-st}c_{1}f_{1} dt + \int _{0}^\infty e^{-st}c_2f_2 dt \\ &= c_{1}\int_{0}^\infty e^{-st}f_{1} dt + c_2\int _{0}^\infty e^{-st}f_2 dt \\ &= c_{1}\mathcal{ L} \left\{ f_{1} \right\} + c_2 \mathcal{ L} \left\{ f_2 \right\} \end{align*}$$

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