📂抽象代数

因数定理の証明

定理 ¹

$f(x) \in F [ x ]$ としよう。

$$f(a) = 0 \iff f(x) = (x-a) q(x)$$

説明

これは、中学校からずっとやってきた因数分解の存在を保証する定理だ。重要なことは、除算定理や因数定理のような事実は、多項式の度数が有限の時に意味を持つということだ。

証明

$( \implies )$

除算定理：$a_{n} \ne 0$ と $b_{m} \ne 0$、そして $n > m > 0$ に対して、$F [ x ]$ の二つの要素を $$f(x) = a_{n} x^{n} + \cdots + a_{1} x + a_{0} \\ g(x) = b_{m} x^{m} + \cdots + b_{1} x + b_{0}$$ としよう。すると、$f(x) = g(x) q(x) + r(x)$ を満たす $q(x), r(x) \in F [ x ]$ が唯一存在する。$r$ の度数は $m$ より小さい。

除算定理により、$f(x) = (x-a) q(x) + r(x)$ を満たす $q(x) , r(x) \in F [ x ]$ が唯一存在する。$(x -a )^{1}$ の度数は $1$ なので、$r(x)$ の度数は $0$、つまり、ある定数 $c$ に対して $r(x) = c$ である。それならば $$f(x) = (x-a) q(x) + c$$ に $x = a$ を代入すると $$0 = f(a) = 0 q(a) + c = c$$ よって、$f(x) = (x-a) q(x)$ である。

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$( \impliedby )$ $$f(x) = (x-a) q(x)$$ に $x = a$ を代入すると、$f(a) = 0 q(a) = 0$ を得る。

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