📂バナッハ空間

線形作用素の性質

【要約】¹

$T : (X , \left\| \cdot \right\|_{X}) \to ( Y , \left\| \cdot \right\|_{Y} )$を線形作用素と呼ぼう。

(a) $T$が有界ならば、すべての$x \in X$に対して$\left\| T(x) \right\|_{Y} \le \left\| T \right\| \left\| x \right\|_{X}$

(b) $T$は連続$\iff$$T$は有界

(c) $X$が有限次元空間ならば、$T$は連続である。

(d) $Y$がバナッハ空間ならば、$( B(X,Y) , \| \cdot \| )$はバナッハ空間である。

【説明】

$B(X,Y)$は有界線形作用素の空間だから、**(b)**によってこの空間の作用素はすべて連続だとわかる。線形なだけでなく連続でさえあり、それが完備であれば非常に良い空間であることは確かだ。

**(a)**はよく使われ、大きな問題がなければ、通常は$\| Tx \| \le \| T \| \| x \| $と書く。

**(d)**ではノルム$\| \cdot \|$は作用素ノルムだ。

【証明】

(a)

戦略: $\| x \|_{X}$がスカラーであることを利用して$T$の内外を行き来する。

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$T$が有界であるから、ある$c> 0$に対して

$$ {{ \| T(x) \|_{Y} } \over { \| x \|_{X} }} \le c $$

$\| x \|_{X}$はスカラーであり$T$は線形であるから

$$ {{ \| T(x) \|_{Y} } \over { \| x \|_{X} }} =\left\| {{1} \over {\| x \|_{X} }} T \left( x \right) \right\|_{Y} = \left\| T \left( {{x} \over {\| x \|_{X} }} \right) \right\|_{Y} $$

作用素ノルムの定義から$\left\| T \right\| = \sup \limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \left\| T(x) \right\|_{Y}$だから

$$ {{ \| T(x) \|_{Y} } \over { \| x \|_{X} }} = \left\| T \left( {{x} \over {\| x \|_{X} }} \right) \right\|_{Y} \le \sup \limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \left\| T(x) \right\|_{Y} = \| T \| $$

両辺にスカラー$\| x \|_{X}$を掛けると

$$ \| T(x) \|_{Y} \le \| T \| \| x \|_{X} $$

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(b)

戦略: イプシロン-デルタ論法で直接演繹する。$(\implies)$は背理法を使用し、連続性によって、仮定に反する数列を作り出す。

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• $(\impliedby)$

  $T = 0$ならば自然に連続だから、$T \ne 0$の場合を考えよう。任意の$x_{0} \in X$に対して$\| x - x_{0} \| < \delta$とする。

  $T$は有界線形作用素だから、**(a)**によって

  $$ \| Tx - Tx_{0} \| = \| T ( x - x_{0} ) \| \le \| T \| \| x - x_{0} \| < \| T \| \delta $$

  任意の$\varepsilon > 0$に対して$\displaystyle \delta = {{ \varepsilon } \over { \| T \| }}$とすると$\| Tx - Tx_{0} \| < \varepsilon$だから$T$は連続だ。

• $(\implies)$

  $\| T \| = \infty$と仮定すると

  $$ \| x_{n} \| = 1 $$

  $$ \lim_{n \to \infty} \| T x_{n} \| = \infty $$

  $X$の数列$\left\{ x_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} }$が存在し、$\displaystyle z_{n} := {{x_{n}} \over { \sqrt{ \| Tx_{n} \| } }}$を定義すると

  $$ \lim_{n \to \infty} z_{n} = 0 $$

  $T$は連続だから

  $$ 0 = \lim_{n \to \infty} \| T( 0 ) \| = \left\| T \left( \lim_{n \to \infty} z_{n} \right) \right\| = \lim_{n \to \infty} \| T( z_{n} ) \| = \lim_{n \to \infty} \left\| T \left( {{x_{n}} \over { \sqrt{ \| Tx_{n} \| } }} \right) \right\|= \lim_{n \to \infty} \sqrt{ \| T(x_{n} ) \| } = \infty $$

  これは仮定に反するから、$T$は有界だ。

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(c)

戦略: **(b)**によって連続性を示すには、有界であることを示すことで十分だ。有限次元空間の性質を利用すると、$T$が有界であることを示すのは比較的簡単だ。

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$\dim X = n$とすると、$X$は基底$\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$を持って任意の$x \in X$は$t_{i} \in \mathbb{C}$に対して

$$ x = \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} $$

$T$は線形作用素であるから

$$ Tx = T \left( \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right) = \sum_{i=1}^{n} | t_{i} | T \left( e_{i} \right) $$

各辺にノルム$\| \cdot \|_{Y}$を取ると

$$ \begin{equation} \| Tx \|_{Y} = \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} T \left( e_{i} \right) \right\|_{Y} \le \sum_{i=1}^{n} | t_{i} | \| T ( e_{i} ) \|_{Y} \le \max_{1 \le i \le n} \| T ( e_{i} ) \|_{Y} \sum_{i=1}^{n} | t_{ i} | \end{equation} $$

新たにノルム$\displaystyle \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{1} := \sum_{i=1}^{n} | t_{ i} |$を定義しよう。有限次元ベクトル空間で定義されたノルムはすべて等価であるから

$$ C \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{1} \le \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{X} $$

$C>0$を満たすものが存在する。したがって

$$ \sum_{i=1}^{n} | t_{ i} | = \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{1} \le {{1} \over {C}} \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{X} = {{1} \over {C}} \| x \|_{X} $$

$(1)$に適用すると

$$ \| T x \|_{Y} \le {{1} \over {C}} \max_{1 \le i \le n} \| T(e_{i} ) \|_{Y} \cdot \| x \|_{X} $$

したがって$\displaystyle \| T \| \le {{1} \over {C}} \max_{1 \le i \le n} \| T(e_{i} ) \|_{Y} < \infty$だが、$T$は有界線形作用素であるから、**(b)**によって連続だ。

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(d)

戦略: バナッハ空間$Y$で完備性を引き出して$T(x) \in T(X) \subset Y$についての議論に変える。

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• パート1. ノルム空間$( B(X,Y) , \| \cdot \| )$に対して、$\| \cdot \|$は以下の条件を満たす。$T \in B(X,Y)$に対して、

  (i): $$ \| T \| = \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T(x) \| \ge 0 $$

  (ii): $$ \| T \| = \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T(x) \| = 0 \iff T = 0 $$

  (iii): $$ \| \lambda T \| = \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| \lambda T(x) \| =\sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \lambda \| T(x) \| = \lambda \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T(x) \| $$

  (iv): $$ \begin{align*} \| T_{1} + T_{2} \| =& \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| (T_{1} + T_{2})(x) \| \\ \le & \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \left( \| T_{1} (x) \| + \| T_{2}(x) \| \right) \\ \le & \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T_{1}(x) \| + \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T_{2}(x) \| \end{align*} $$

• パート2. 完備性

  $B(X,Y)$のコーシー数列$\left\{ T_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$を定義すると、任意の$\varepsilon > 0$に対して

  $$ \| T_{n} - T_{m} \| < \varepsilon $$

  **(a)**によって、すべての$x \in X$に対して

  $$ \| T_{n} x - T_{m} x \| = \| ( T_{n} - T_{m} ) x \| \le \| T_{n} - T_{m} \| \| x \| < \varepsilon \| x \| $$

  したがって、$\left\{ T_{n}x \right\}$は$Y$のコーシー数列だ。仮定から$Y$は完備だから、何らかの$Tx \in Y$に対して

  $$ \lim_{m \to \infty } T_{m}x = Tx $$

  再び、**(a)**によって、すべての$x \in X$に対して

  $$ \| T_{n} x - T x \| = \left\| T_{n} x - \lim_{m \to \infty} T_{m} x \right\| = \lim_{m \to \infty} \left\| T_{n} x - T_{m} x \right\| < \varepsilon \| x \| $$

  すべての$x \in X$に対して$\displaystyle {{ \| ( T_{n} - T ) x \| } \over { \| x \| }} < \epsilon$だから

  $$ ( T_{n} - T ) \in B(X,Y) $$

  一方、パート1で$B(X,Y)$がベクタースペースであることを示したから

  $$ T = T_{n} - ( T_{n} - T ) \in B(X,Y) $$

  今、$\| x \| = 1$について考えると、すべての$x \in X$に対して$\displaystyle {{ \| ( T_{n} - T ) x \| } \over { \| x \| }} < \epsilon$だから

  $$ \| T_{n} - T \| = \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} {{ \| ( T_{n} - T ) x \| } \over { \| x \| }} < \varepsilon $$

  すべてのコーシー数列$\left\{ T_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} $が、$n \to \infty$のとき何らかの$T \in B(X,Y)$に収束するので、$B(X,Y)$は完備だ。

• パート3.

  $B(X,Y)$は完備なノルムドスペースであるから、バナッハ空間である。

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