📂バナッハ空間

リサジューの補助定理の証明

定理 ¹

ノルム空間 $(X , \| \cdot \| )$ の部分空間 $Y \subsetneq X$ について、$Y$ が閉集合だとする。全ての $\theta \in (0,1)$ と $y \in Y$ に対して、$\| x_{ \theta } \| = 1$ と $\| x_{ \theta } - y \| > \theta$ を満たす $x_{\theta} \in X$ が存在する。

証明

戦略：具体的な $x_{\theta}$ の存在を示し、次に $\| x_{ \theta } - y \| > \theta$ が成り立つことを示す。

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$x_{0 } \notin Y$ であり、かつ $x_{0 } \in X$ な $x_{0}$ について、$d:= \inf \left\{ \| x_{0} - y \| : y \in Y \right\}$ とする。$d=0$ と仮定すると、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \| x_{0} - y_{n} \| = 0$ を満たす $Y$ の数列 $\left\{ y_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} }$ が存在する。これは即ち $x_{0} \in \overline{Y}$ であり、$\overline{Y} = Y$ だから $x_{0} \in Y$ となり矛盾し、$d> 0$ でなければならない。

今、$x_{0}$ と $\overline{Y}$ の端の間の距離 $d$ よりも遠い、$\displaystyle 0 < \| x_{0} - y_{0} \| < {{d} \over {\theta }}$ を満たす $y_{0} \in Y$ が存在する。この $\theta$ について、$\displaystyle x_{ \theta } := {{ x_{0} - y_{0} } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }}$ とする。$y \in Y$ なら

$$\| x_{ \theta} - y \| = \left\| {{ x_{0} - y_{0} } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }} - y \right\| = {{1 } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }} \left\| x_{0} - y_{0} - \| x_{0} - y_{0} \| y \right\|$$

$(y_{0} + \| x_{0} - y_{0} \| y) \in Y$ であり、$\left\| x_{0} - y_{0} - \| x_{0} - y_{0} \| y \right\| \ge d$ だから、

$$\| x_{ \theta} - y \| \ge {{1 } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }} d$$

$\displaystyle \| x_{0} - y_{0} \| < {{d} \over {\theta }}$ だから、次のことが成り立つ。

$$\| x_{ \theta} - y \| > {{ \theta } \over {d }} d = \theta$$

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