📂バナッハ空間

有限次元ベクトル空間のハメル基底

定義 ¹

ベクトル空間$X$が与えられているとする。

1. $X$のベクトル$x_{1} , \dots , x_{n}$とスカラー$\alpha_{1} , \dots , \alpha_{n}$に対して、$\alpha_{1} x_{1} + \cdots + \alpha_{n} x_{n}$をベクトル$x_{1} , \dots , x_{n}$の線形結合という。

2. $M =\left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\}$とするとき、$M$の全てのベクトルの線形結合の集合を$\text{span} M$と呼び、$M$によって生成された$X$の部分空間とする。

3. $\alpha_{1} x_{1} + \cdots + \alpha_{n} x_{n} = 0$を満たすケースが$\alpha_{1} = \cdots = \alpha_{n} = 0$のみのとき、$M$は線形独立であるという。

4. 有限集合$K \subset X$が$\text{span} K = X$を満たすならば、$X$は有限次元であるという。

5. 線形独立の集合$M$が$\text{span} M = X$を満たすとき、$M$を$X$の基底という。

6. 基底の濃度$\dim X := | M|$を$X$の次元という。

説明

ベクトル空間の基底は特に「有限」な線形結合について話すとき、ハメル基底と呼ばれる。有限次元のノルム空間は名前が長いからといって、線形代数を始めるところから知っている親しみやすい空間でもある。だから、普通はこれらがどれほど良い性質を持っているかについての何か真剣な考察をしていなかったはずだ。

• 有限次元ノルム空間には基底がある。
• 有限次元ベクトル空間上で定義された全てのノルムは同値である。
• 有限次元ノルム空間は完備性を持つ。

ユークリッド空間を考えるなら、上記の事実は事実として受け入れられるが、一般的な空間では必ずしもそうではない。それぞれ証明が必要で、想像以上に難しいことがある。

参照

• 線形代数学におけるベクトルの線形独立と基底、次元
• 無限次元ベクトル空間の基底：シャウダー基底