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バナッハ空間 📂バナッハ空間

バナッハ空間

定義1

完備なノルム空間をバナッハ空間banach spaceと言う。

説明

完備空間とは、すべてのコーシー列が収束する空間のことを言う。

バナッハ空間は以下の各項をすべて満たす空間として、非常に便利な空間である。距離関数が定義されている上に完備性を備えている。

また、バナッハ空間の例としては、定義域が閉区間である連続関数の集合が考えられる。これは非常に簡単な例でありながら、様々な重要な定理を支えているため、非常に重要な事実でもある。バナッハ空間の例には以下のものがある。

  • C[a,b]C[a,b]
  • Rn\R^{n}
  • Cn\mathbb{C}^{n}

C[a,b]C[a,b]に関する証明を紹介する。

証明 1

  • パート 1. ベクトル空間

    閉区間で定義された連続関数は、定数関数 f(x)=0f(x) = 0 を単位元として、f(x)=−f(x)f(x) = - f(x) を逆元として持つ。また、C[a,b]C[a,b] はスカラーフィールド R\mathbb{R}上でベクトル空間の条件をよく満たす。

  • パート 2. ノルム空間

    f∈C[a,b]f \in C [a,b] に対して ∥⋅∥\| \cdot \| を ∥f∥:=sup⁡a≤t≤b∣f(t)∣\displaystyle \| f \| := \sup_{ a \le t \le b } | f (t) | として定義すると、ノルムの条件をよく満たす。

  • パート 3. 完備性

    {fn}n∈N\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} を C[a,b]C [a,b] のコーシー列としよう。つまり、すべての ε/3>0\varepsilon / 3 > 0 に対して、n,m>N1n,m > N_{1} の時いつでも ∥fn(t)−fm(t)∥<ε/3\| f_{n} (t) - f_{m} (t) \| < \varepsilon / 3 を満たす N1∈NN_{1} \in \mathbb{N} が存在する。

    R\mathbb{R} は完備空間なので、固定された t0∈[a,b]t_{0} \in [a,b] が与えられるたびに、lim⁡n→∞fn(t0)\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n} (t_{0}) はある f:[a,b]→Rf : [a,b] \to \mathbb{R} に関して

    lim⁡n→∞fn(t0)=f(t0) \lim_{n \to \infty} f_{n} ( t_{0} ) = f ( t_{0} )

    と表せる。すると、fnf_{n} はコーシー列なので、任意の t∈[a,b]t \in [a,b] に対して、m≥N2m \ge N_{2} の時に

    ∣f(t)−fm(t)∣=∣lim⁡n→∞fn(t)−fm(t)∣=lim⁡n→∞∣fn(t)−fm(t)∣≤lim⁡n→∞sup⁡t∈[a,b]∣fn(t)−fm(t)∣=lim⁡n→∞∥fn−fm∥<ε/3 \begin{align*} | f(t) - f_{m} (t) | =& \left| \lim_{n \to \infty} f_{n} (t) - f_{m} (t) \right| \\ =& \lim_{n \to \infty} | f_{n} (t) - f_{m} (t) | \\ \le & \lim_{n \to \infty} \sup_{t \in [a,b] } | f_{n} (t) - f_{m} (t) | \\ =& \lim_{n \to \infty} \| f_{n} - f_{m} \| \\ <& \varepsilon / 3 \end{align*}

    を満たす N2N_{2} が存在する。もちろん、関数 ff が連続である保証はまだなく、単にすべての t∈[a,b]t \in [a,b] に対して最終的に fn(t)f_{n} (t) に収束する値を関数値として定義されただけである。しかし、この定義から、fnf_{n} が ff に一様収束する、つまりすべての x,y∈[a,b]x,y \in [a,b] および ε/3>0\varepsilon / 3 > 0 に対して n≥N3n \ge N_{3} の時に同時に満たされる N3∈NN_{3} \in \mathbb{N} が存在することを保証することができる。

    ∣fn(x)−f(x)∣<ε/3∣fn(y)−f(y)∣<ε/3 \left| f_{n} (x) - f(x) \right| < \varepsilon / 3 \\ \left| f_{n} (y) - f(y) \right| < \varepsilon / 3

    これで、ff が連続関数であることを示すだけである。

    空集合でない E⊂RE \subset \mathbb{R} について、f:E→Rf : E \to \mathbb{R} としよう。

    コンパクト距離空間

    ff が連続で、EEが有界閉区間であれば、ff は一様連続である。

    fn:[a,b]→Rf_{n} : [a,b] \to \mathbb{R} は連続であり、[a,b]⊂R[a,b] \subset \mathbb{R} はコンパクトなので、fnf_{n} は [a,b][a,b] で一様連続である。つまり、すべての x,y∈[a,b]x,y \in [a,b] および ε/3>0\varepsilon / 3 > 0 に対して、∣x−y∣<δ|x-y| < \delta の時に満たされる δ>0\delta > 0 が存在する。

    ∣fn(x)−fn(y)∣<ε/3 \left| f_{n}(x) - f_{n}(y) \right| < \varepsilon / 3

    以上の結果を組み合わせると、∣x−y∣<δ|x-y| < \delta および n≥N3n \ge N_{3} の場合に

    ∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−fn(x)∣+∣fn(x)−fn(y)∣+∣fn(y)−f(y)∣=ε/3+ε/3+ε/3=ε \begin{align*} |f(x) - f(y)| \le & \left| f (x) - f_{n} (x) \right| + \left| f_{n}(x) - f_{n}(y) \right| + \left| f_{n} (y) - f(y) \right| \\ =& \varepsilon / 3 + \varepsilon / 3 + \varepsilon / 3 \\ =& \varepsilon \end{align*}

    を満たす δ>0\delta > 0 および N3∈NN_{3} \in \mathbb{N} が存在するため、ff は [a,b][a,b] で一様連続であり、f∈C[a,b]f \in C[a,b] に収束する。したがって、任意の連続関数のコーシー列 {fn}n∈N\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} が一様に何らかの f∈C[a,b]f \in C[a,b] に収束するため、C[a,b]C[a,b] は完備性を有する。

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  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p36. ↩︎ ↩︎