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パラサイティック・ソリューション

定義 ¹

パラサイティックソリューション^{parasitic solution}とは、方法が進むにつれてその大きさが大きくなり、符号が変わるような項のことだ。$a_{n} = 2^{-n} + (-2)^{n}$のような数列が$(-2)^{n}$のせいで収束しないことを想像するといい。「パラサイティック」という表現は、収束を妨げるという点で直感的で、非常に適切な命名だと言えるだろう。

例：ダールキスト問題

例として、$\begin{cases} y ' = \lambda y \\ y(0) = 1 \end{cases}$を考えてみよう。その解は$Y = e^{ \lambda x}$で正確に求められる。しかし、具体的な値が必要な場合、数値解析的な方法を考慮せざるをえない。計算には、ミッドポイントメソッドを使用してみよう。

ミッドポイントメソッド：$D \subset \mathbb{R}^2$によって定義された連続関数$f$に対して、初期値問題$\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ ( y( x_{0} ) , y (x_{1} )) = (Y_{0} ,Y_{1} ) \end{cases}$が与えられたとする。区間$(a,b)$を$a \le x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} < \cdots x_{N} \le b$のようなノードポイントで切り分けたとしよう。特に、十分に小さい$h > 0$に対して$x_{j} = x_{0} + j h$とすると、初期値$y_{0} = Y_{0}$に対して $$y_{n+1} = y_{n-1} + 2 h f ( x_{n} , y_{n} )$$

ミッドポイントメソッドを問題に適用すると、次のようになる。 $$y_{n+1} = y_{n-1} + 2h \lambda y_{n}$$ 2次線形同次微分方程式の解法を通じて、$y_{n} = r^{n}$と仮定しよう。 $$r^{n+1} = r^{n-1} + 2 h \lambda r^{n}$$ 両辺から$r^{n-1}$を除去し、2次方程式に整理すると $$r^2 - 2h \lambda r - 1 = 0$$ 解の公式を通じて解くと $$r_{0} = h \lambda + \sqrt{ 1 + h^2 \lambda^2 }$$

$$r_{1} = h \lambda - \sqrt{ 1 + h^2 \lambda^2 }$$ 一般解は、ある$\beta_{0} , \beta_{1}$に対して $$y_{n} = \beta_{0} r_{0}^{n} + \beta_{1} r_{1}^{n}$$ $n=0,1$を代入すると $$\begin{cases} y_{0} = \beta_{0} + \beta_{1} \\ y_{1} = \beta_{0} r_{0} + \beta_{1} r_{1} \end{cases}$$ 一方で、すでに正確な解として$Y = e^{ \lambda x}$を知っているため $$\begin{cases} y_{0} = 1 = \beta_{0} + \beta_{1} \\ y_{1} = e^{ \lambda h } = \beta_{0} r_{0} + \beta_{1} r_{1} \end{cases}$$ を導き出すことができる。これを$\beta_{0}$と$\beta_{1}$に対して解くと $$\begin{cases} \displaystyle \beta_{0} = {{e^{ \lambda h} - r_{1} } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \\ \displaystyle \beta_{1} = {{r_{0} - e^{ \lambda h} } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } } } \end{cases}$$ $e^{\lambda h}$をマクローリン展開すると、$\displaystyle e^{\lambda h} = 1 + \lambda h + {{\lambda^2 h^2} \over {2}} + O (h^3 \lambda^3)$であるため $$\begin{align*} \displaystyle \beta_{0} =& {{e^{ \lambda h} - r_{1} } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \\ =& {{1 + \lambda h + {{\lambda^2 h^2} \over {2}} + O (h^3 \lambda^3 ) - h \lambda + \sqrt{ 1 + h^2 \lambda^2 } } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \\ =& {{1 + {{\lambda^2 h^2} \over {2}} - \sqrt{ 1 + h^2 \lambda^2 } + 2 \sqrt{ 1 + h^2 \lambda^2 } + O (h^3 \lambda^3 ) } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \\ =& 1 + {{1 + {{\lambda^2 h^2} \over {2}} - \sqrt{ 1 + h^2 \lambda^2 } + O (h^3 \lambda^3 ) } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \end{align*}$$ 同様に$\sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 }$をマクローリン展開すると、$\displaystyle \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } = 1 + {{\lambda^2 h^2} \over {2}} + O (h^4 \lambda^4)$であるため $$\begin{align*} \displaystyle \beta_{0} =& 1 + {{1 + {{\lambda^2 h^2} \over {2}} - \sqrt{ 1 + h^2 \lambda^2 } +O (h^3 \lambda^3 ) } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \\ =& 1 + {{1 + {{\lambda^2 h^2} \over {2}} + O (h^3 \lambda^3 ) - 1 - {{\lambda^2 h^2} \over {2}} + O (h^4 \lambda^4) } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \end{align*}$$ $\beta_{1}$に対しても同じことが言える。 $$\begin{align*} \beta_{1} =& {{ r_{0} - e^{ \lambda h} } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \\ =& { { h \lambda + \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } - e^{h \lambda } } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \\ =& {{ h \lambda + 1 + {{\lambda^2 h^2} \over {2}} + O (h^4 \lambda^4 ) - 1 - h \lambda - {{\lambda^2 h^2} \over {2}} - O (h^3 \lambda^3) } \over {2 \sqrt{ 1+ h^2 \lambda^2 } }} \end{align*}$$

分母にビッグオーノーテーションがある場合、分子に移す方法：$a \ne 0$、$p>0$、$n \in \mathbb{N}$に対して$\displaystyle {{1} \over { \sqrt[p]{a + O ( h^n ) } }} = {{1} \over { \sqrt[p]{a } }}+ O(h^n)$を適用する。

結論として、 $$\begin{align*} \beta_{0} =& 1+ O (h^{3} \lambda^{3} ) \\ \beta_{1} =& O (h^{3} \lambda^{3} ) \end{align*}$$ を得る。つまり、$h \to 0$の時、$\beta_{0} \to 1$であり、$\beta_{1} \to 0$なので $$y_{n} = \beta_{0} r_{0}^{n} + \beta_{1} r_{1}^{n} \to r_{0}^{n}$$ 今、問題は、$n$が固定されたときに、$\lambda > 0$が大きくなると、この一般解がどうなるかである。もし$\lambda > 0$なら、心配することはなく、$r_{0} > | r_{1} | > 0$により、$\beta_{0} r_{0}^{b}$が$\beta_{1} r_{1}^{n}$よりもずっと早く大きくなる。しかし、$\lambda <0$なら、話は変わる。もし$0 < r_{0} < 1$であり、$r_{1} < -1$なら、$n$が増加するたびに$\beta_{1} r_{1}^{n}$は符号を変えながら、その絶対値が$\beta_{0} r_{0}^{n}$を圧倒することになる。

この時、$\beta_{1} r_{1}^{n}$をパラサイティックソリューションと呼び、この危険のためにミッドポイントメソッドが弱い安定性^{weak Stability}を持つと言われる。したがって、少なくとも$\displaystyle { {\partial f(x, Y(x)) } \over {\partial y}}$の符号が負である場合、この問題がないか数学的に確認することが絶対に必要である。

例として、ミッドポイントメソッドで$\begin{cases} y ' = x - y^2 \\ y(0) = 0 \end{cases}$と同じ初期値問題を解いた結果を見ると、最初はうまくいっているように見えるが、3行目からは、解が突然揺れ始めることが分かる。

これとほぼ同じ方法で、ミルンメソッド^{milne’s method}

$$y_{n+1} = y_{n-1} + {{h} \over {3}} [ f(x_{n-1} , y_{n-1}) + f(x_{n} , y_{n})] + f(x_{n+1} , y_{n+1})$$ も弱い安定性を持つことが示される。特に好んで使われる$\begin{cases} y ' = \lambda y \\ y(0) = 1 \end{cases}$と同じ問題をダールキスト問題^{dahlquist Problem}と言う。