📂バナッハ空間

p=∞ のときにp-ノルムが最大ノルムになることの証明

定理

数列の空間 $l^{p}$ そして $1 < p_{0} < \infty$ に対して $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}}$ としよう。 $$\lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } |$$

説明

解析学や線形代数学等で早期に遭遇するにもかかわらず、なぜ最大ノルムが$\infty$と関係があるのか、しっかりと説明されないことが多い。特に、教授達はそれがあまりにも明白であると思うため、スルーしがちだが、ピンとこなければ、必ず深く掘り下げるべきだ。

可視化 ¹

千言万句必要はない。上の図は、ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{2}$ に与えられた $p$-ノルムのユニットボールを描くと、このような形に収束する。

直感的な数式展開

概念をつかむためには、数式でアプローチする方がもっと助けになるだろう。$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$とする時、$\left\| \mathbf{x} \right\|_{p}$は $$\left\| \mathbf{x} \right\|_{p} = \sqrt[p]{\left| x_{1} \right|^{p} + \cdots + \left| x_{n} \right|^{p}}$$ このように書ける。この時、$\left| x_{1} \right|, \cdots , \left| x_{n} \right|$ の中で最大の値を $\bar{x} = \max_{k = 1 , \cdots , n} \left| x_{k} \right|$とすると、次のような数式展開がされるように見えるかもしれない。 $$\begin{align*} \lim_{p \to \infty} \left\| x \right\|_{p} =& \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\left| x_{1} \right|^{p} + \cdots + \left| x_{n} \right|^{p}} \\ =& \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{ \bar{x}^{p} \left( \left| {\frac{ x_{1} }{ \bar{x} }} \right|^{p} + \cdots + \left| {\frac{ x_{n} }{ \bar{x} }} \right|^{p} \right) } \\ =& \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\bar{x}^{p}} \cdot \sqrt[p]{ \left( \left| {\frac{ x_{1} }{ \bar{x} }} \right|^{p} + \cdots + \left| {\frac{ x_{n} }{ \bar{x} }} \right|^{p} \right) } \\ \overset{?}{=} & \bar{x} \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{ 0 + \cdots + 1 + \cdots + 0 } \\ =& \bar{x} \lim_{p \to \infty} m^{{\frac{ 1 }{ p }}} \\ =& \max_{k = 1 , \cdots , n} \left| x_{k} \right| \cdot 1 \end{align*}$$ 厳密な証明はこのように進行されはしないが、このような直感を持っているか否かは、最大ノルムを理解する上で大きな違いが生じる。

証明

$\displaystyle M := \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } |$ とする。もし $M=0$ ならば $\displaystyle 0 = \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } | = 0$ であるため $M > 0$ を仮定しよう。新しい数列を $\displaystyle y_{n} : = {{x_{n}} \over {M}}$ と定義すると、$\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} | y_{ n } | = 1$ であり、$\left\{ y_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}}$ であるため、$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = M$ を示すには $\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } \left| {{x_{n} } \over {M}} \right|^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = 1$ を示すことで十分である。

• パート 1. $\displaystyle \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge 1$

  $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} | y_{ n } | = 1$ であるため、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $| y_{n_{0} } | > 1 - \varepsilon$ を満たす $n_{0} \in \mathbb{N}$ が存在する。全ての $\varepsilon > 0$ に対して $\displaystyle \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge | y_{ n_{0} } | > 1 - \varepsilon$ が成り立つので、

  $$\liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge 1$$

• パート 2. $\displaystyle \limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le 1$

  $\left\{ y_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}}$ であるため、$\displaystyle \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p_{0}} < 1$ を満たす $N \in \mathbb{N}$ が存在する。$p > p_{0}$ とすると、

  $$\sum_{ n > N } | y_{n} |^{p} < \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p_{0}} < 1$$

  $\displaystyle \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \left( | y_{1} |^{p} + \cdots + | y_{N} |^{p} + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \left( N + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} }$ が成り立つため、

  $$\limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \limsup_{p \to \infty} \left( N + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} } = 1$$

• パート 3.
  上の パート 1. と パート 2. に従って、 $$\limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le 1 \le \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} }$$ 結果として、以下を得る。 $$\lim_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } =1$$

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