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パップス-グルディンの定理の証明 📂多変数ベクトル解析

パップス-グルディンの定理の証明

定理

20180907\_120248.png

平面上の図形 FF の面積を AA とし、FF を zz 軸で回転して得られた回転体 WW の体積を VV とする。zz 軸と FF の重心間の距離を rr とすると V=2πrA V = 2 \pi r A

説明

パップス-ギュルダンの定理は、高校レベルでは証明できないが、回転体について学ぶときに先生たちがよく言及する定理だ。実際に大学レベルの数学を勉強すれば証明はできるが、意外と使う機会はほとんどない。

証明

主張: FF の重心は r=∬FydAA\displaystyle r = {{ \iint_{F} y dA } \over {A}} にあるので、V=2π∬FydA\displaystyle V = 2 \pi \iint_{F} y dA であることを示せばいい。

パート 1.

函数 Φ1:F′→F\Phi_{1} : F ' \to F を Φ(u,v)=(0,y(u,v),z(u,v))\Phi (u,v) = (0,y(u,v),z(u,v)) のように定義すると、Φ1\Phi_{1} は全単射になる。これを利用して座標を変換すると、ヤコビアンは ∣det⁡[∂y∂u∂y∂v∂z∂u∂z∂v]∣=∣∂y∂u∂z∂v−∂y∂v∂z∂u∣ \left| \det \begin{bmatrix} \displaystyle {{\partial y } \over { \partial u }} & \displaystyle {{\partial y } \over { \partial v }} \\ \displaystyle {{\partial z } \over { \partial u }} & \displaystyle {{\partial z } \over { \partial v }} \end{bmatrix} \right| = \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| 従って、FF の面積は A=∬FdA=∬F′∣∂y∂u∂z∂v−∂y∂v∂z∂u∣dudv A = \iint_{F} dA = \iint_{F ' } \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv

パート 2.

W’:=F′×[0,2π] W’ := F ' \times [0, 2 \pi ] としよう。函数 Φ2:W’→W\Phi_{2} : W’ \to W を Φ(u,v,θ)=(y(u,v)cos⁡θ,y(u,v)sin⁡θ,z(u,v))\Phi (u,v, \theta ) = (y(u,v) \cos \theta ,y(u,v) \sin \theta ,z(u,v)) のように定義すると、Φ2\Phi_{2} は全単射になる。これを利用して座標を変換すると、ヤコビアンは ∣det⁡[∂y∂ucos⁡θ∂y∂vcos⁡θ−ysin⁡θ∂y∂usin⁡θ∂y∂vsin⁡θycos⁡θ∂z∂u∂z∂v0]∣=∣−∂y∂u∂z∂vycos⁡2θ+∂y∂v∂z∂uycos⁡2θ−(∂y∂u∂z∂vysin⁡2θ−∂y∂v∂z∂uysin⁡2θ)∣=∣∂y∂u∂z∂vy−∂y∂v∂z∂uy∣=y∣∂y∂u∂z∂v−∂y∂v∂z∂u∣ \begin{align*} &\left| \det \begin{bmatrix} \displaystyle {{\partial y } \over { \partial u }} \cos \theta & \displaystyle {{\partial y } \over { \partial v }} \cos \theta & \displaystyle -y \sin \theta \\ \displaystyle {{\partial y } \over { \partial u }} \sin \theta & \displaystyle {{\partial y } \over { \partial v }} \sin \theta & \displaystyle y \cos \theta \\ \displaystyle {{\partial z } \over { \partial u }} & \displaystyle {{\partial z } \over { \partial v }} & 0 \end{bmatrix} \right| \\ =& \left| - {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} y \cos^2 \theta + {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} y \cos^2 \theta - \left( {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} y \sin^2 \theta - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} y \sin^2 \theta \right) \right| \\ =& \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} y - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} y \right| \\ =& y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| \end{align*} 最初の等式は、3番目の行に関するラプラス展開によって成立する。従って、WW の体積は V=∭WdV=∭W’y∣∂y∂u∂z∂v−∂y∂v∂z∂u∣dudvdθ V = \iiint_{W} dV = \iiint_{W’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv d \theta

パート 3.

上で得られた結果を合わせると V=∭W’y∣∂y∂u∂z∂v−∂y∂v∂z∂u∣dudvdθ=∫02π∬F’y∣∂y∂u∂z∂v−∂y∂v∂z∂u∣dudvdθ=2π∬F’y∣∂y∂u∂z∂v−∂y∂v∂z∂u∣dudv=2π∬FydA \begin{align*} V =& \iiint_{W’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv d \theta \\ =& \int_{0}^{2 \pi } \iint_{F’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv d \theta \\ & = 2 \pi \iint_{F’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv \\ =& 2 \pi \iint_{F} y dA \end{align*}

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