📂位相幾何学

多様体とは何か

定義 ¹

位相空間 $X$が次の三つの条件を満たす時、$X$を**$n$次元多様体**^manifoldと言う。

• (i): 第二可算である。
• (ii): ハウスドルフである。
• (iii): $X$の全ての点が$\mathbb{R}^{n}$の開集合と位相同型な近傍を持つ。

$n$次元多様体$X$が以下の二つのタイプの点を持つ時、$X$は境界を持つと言われる。

• (1) 内部点: 全ての$x \in X^{\circ}$の近傍が$\mathbb{R}^{n}$と位相同型である。
• (2) 境界点: 全ての$x \in \partial X$の近傍が$U^{n} := \left\{ \mathbf{x} \ | \ \mathbf{x} \in (\mathbb{R}^{+})^{n} \right\}$と位相同型である。

説明

条件(iii)と局所的にユークリッド空間であることは、同じ意味である。つまり、多様体は局所的にユークリッド空間に似た位相空間を指す。特に、$1$次元多様体をカーブ^curve、$2$次元多様体をサーフェス^surfaceと言う。

上の例では、最初と二番目は$1$次元多様体だが、三番目はねじれた部分があるため、$1$次元多様体ではない。

特に、境界を持つ$n$次元多様体$X$と境界を持たない$m$次元多様体$Y$について、以下のことが成り立つ。 $$ \partial (X \times Y) = X \times \partial Y $$