📂動力学

イケダ写像

定義

複素数空間 $\mathbb{C}$ において、次のように動力学系を定義するマップを イケダ マップ^{Ikeda map} と呼ぶ。 $$z \mapsto \mu z \exp \left( i \left[ a + {\frac{ b }{ |z|^{2} + 1 }} \right] \right) + c$$ 複素数を $z = x + iy$ と置くとき、イケダマップは主に実数の $x, y$ とパラメータ $t$ に対して $a = 0.4$、$b = -6$、$c = 1$ として次のように表される。 $$\begin{align*} x \mapsto& 1 + \mu \left( x \cos t - y \sin t \right) \\ y \mapsto& \mu \left( x \sin t + y \cos t \right) \\ t = & 0.4 - {\frac{ 6 }{ 1 + x^{2} + y^{2} }} \end{align*}$$

説明

イケダマップは1979年に日本の物理学者 ケンスケ イケダ が発表した論文において、光が光学共振器を通過する際の現象を単純化したマップである¹。通常、分岐パラメータは $\mu$ で、$\mu \ge 0.6$ のとき カオスになる。

研究的な側面からこのようなシステムを知っておくことは、論文の価値を高める方法になることもあるかもしれない。$2$次元マップの中でカオスなシステムは、あの有名なヘノンマップをはじめとして多くのものが見つかるが、イケダマップは数学的に非常に複雑であるためである²。

コード

以下はイケダマップの軌跡を計算するジュリアコードである。

using CSV, DataFrames, Plots

μ = .9
function ikeda(x,y)
    φ = .4 - 6/(1 + x^2 + y^2)
    cosφ = cos(φ)
    sinφ = sin(φ)
    return [1 + μ*(x*cosφ - y*sinφ), μ*(x*sinφ + y*cosφ)]
end

trj_ = [rand(2)]
for t in 1:10000
    push!(trj_, ikeda(trj_[end]...))
end
data = DataFrame(x = first.(trj_), y = last.(trj_))
scatter(data.x, data.y, legend = :none, size = [500, 500], msw = 0, ms = 1, xlabel = "x", ylabel = "y"); png("Ikeda.png")
CSV.write("ikeda.csv", data)