📂抽象代数

群論におけるコーシーの定理の証明

定理 ¹

有限群 $G$ について、もし素数 $p$ が $|G|$ の約数ならば、$|H| = p$ を満たす部分群 $H \leqslant G$ が存在する。

解説

普通、コーシーの定理と言った場合、この定理を指すわけではない。別のコーシーの定理は、複素解析の根底をなすほど重要な定理で、この定理が言及されることは少ない。なんといっても、この定理は第一シロー定理によって一般化されるため、特にコーシーの定理を使用する必要がある場合は非常に稀だ。

証明方法は知っておくと役に立つかもしれないが、非常にユニークで、設定から始まる。興味本位でも、一度は直接証明してみることをお勧めする。

証明

$i=1 , \cdots p$ に対して $g_{i} \in G$ とし、$G$ の単位元を $e$ とする。集合 $$X := \left\{ (g_{1} , \cdots , g_{p}) \ | \ g_{1} \cdots g_{p} = e \right\}$$ と対称群 $S_{p}$ を考える。

$\rho_{1} \in S_{p}$ は、$X$ のタプルを一つずつシフトする置換として、 $$\rho_{1} (g_{1}, g_{2} , \cdots , g_{p-1} , g_{p}) = (g_{2}, g_{3} , \cdots , g_{p} , g_{1})$$ のような作用をする。$g_{p} = (g_{1} \cdots g_{p-1} )^{-1}$ として定義されるため、$|X| = |G|^{p-1}$ であり、$p$ が $|G|$ の約数であるため、$p$ も $|X|$ の約数である。

$p$-群の性質: 有限群 $G$ が $p$-群であり、$X$ が $G$-集合である場合、$|X| \equiv |X_{G}| \pmod{p}$

従って $| \left< \rho_{1} \right> | = p$、 $$|X| \equiv \left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right| \pmod{p}$$ そして、$p$ は $\left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right|$ の約数でもある。これは、$\left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right|$ に、$(e, e, \cdots , e)$ になろうが $(g , g , \cdots , g )$ になろうが、少なくとも $p$ の倍数だけ同一の要素を持つタプルが存在することを意味する。しかし、これらの要素が $\left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right|$ に属すること自体が、$g \cdots g = g^p = e$ を意味する。したがって、少なくとも $\left< g \right> = p$ を満たす $\left< g \right>$ は $G$ の部分群であることが確認できる。

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参考

• 複素解析でのコーシーの定理