📂レンマ

2桁の数で末尾が5である数の累乗を簡単にする

数式

一の位が5の二桁の数の二乗は、上の写真に示されているように、速く簡単に計算することができる。結果だけを知って利用してもいいが、なぜこのようになるのか不思議に思う人もいるだろう。

証明

一の位が$5$のある二桁の数を$10a+5$としよう。すると、二乗は次のようになる。

$$\begin{align*} (10a+5)(10a+5) =&\ 100a^2+100a+25 \\ =&\ 100a(a+1)+25 \end{align*}$$

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説明

上の結果を応用すれば、十の位が同じではない状況でも簡単に計算することができる。

十の位が1だけ違う場合は、$25$の代わりに$75$を使い、十の位の乗算では$+1$の代わりに$+2$を行うといい。

$$\begin{align*} (10a+5)\left[ 10(a+1)+5) \right] =&\100a(a+1)+100a+50+25 \\ =&\ 100a(a+2)+75 \end{align*}$$

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これまでに、十の位が$n$だけ違う時の公式も作ることができると思うだろう。

一の位が5で十の位の差が$n$の二つの二桁の数の乗算

$$\begin{align*} (10a+5)\left[ 10(a+n)+5 \right] =&\ 100a(a+n)+100a+50n+25 \\ =&\ 100a(a+n+1)+50n+25 \end{align*}$$

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十の位の数の(小さい数) ✕ (大きい数+1)の結果に100を掛け、25を足し、そして十の位の差だけ50を掛けて足せばいい。難しそうに見えるかもしれないが、実際にやってみると全然難しくない。$25 \times 75$の場合では、$2 \times 8=16$であるので、$1600+250+25=1875$になる。一般的な式を覚える必要もなく、二乗や1だけ違う場合を知っていれば、応用して使うことができる。

例

$$25 \times 75=25(25+50)=25(25+25\times 2)=625+625\times 2=625\times 3=1875$$

または

$$25 \times 75=100 \times 16 + 50 \times 5 +25=1600+250+25=1875$$